Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=e^{i t}(0 \leqq t \leqq \pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização em \mathbb{C}
z(t)=e^{i t},\quad 0\le t\le \pi,
e pede para obter a curva descrita e esboçá-la com sua orientação. O conteúdo necessário é a fórmula de Euler e a interpretação de curvas paramétricas no plano complexo.

Passo 2

Aplicando a fórmula de Euler, escrevemos
z(t)=e^{i t}=\cos t + i\sin t.
Dessa forma, a parte real é \Re z(t)=\cos t e a parte imaginária é \Im z(t)=\sin t.

Passo 3

Para verificar o lugar geométrico, calculamos o módulo:
|z(t)|=\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}=1.
Além disso, como \sin t\ge0 para t\in[0,\pi], a curva fica acima ou sobre o eixo real. Logo, trata-se do semicírculo superior do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

A orientação vem do sentido em que t cresce: em t=0 temos z(0)=1+0i e em t=\pi temos z(\pi)=-1+0i. O movimento vai de 1 até -1 no sentido anti-horário.

Passo 5

Esboço no plano complexo:
Trace um semicírculo de raio 1 acima do eixo real, unindo o ponto 1+0i ao ponto -1+0i. Coloque uma flecha no arco indicando o sentido anti-horário (da direita para a esquerda passando pelo ponto superior (0,1)).

Resposta

O caminho é o semicírculo unitário superior, dado por
\{\,\cos t + i\sin t \mid 0\le t\le \pi\},
orientado de 1+0i a -1+0i no sentido anti-horário.
O esboço é o arco acima do eixo real, com flecha de (1,0) passando por (0,1) até (-1,0).

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