Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização em
e pede para obter a curva descrita e esboçá-la com sua orientação. O conteúdo necessário é a fórmula de Euler e a interpretação de curvas paramétricas no plano complexo.
Passo 2
Aplicando a fórmula de Euler, escrevemos
Dessa forma, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 3
Para verificar o lugar geométrico, calculamos o módulo:
Além disso, como
para
, a curva fica acima ou sobre o eixo real. Logo, trata-se do semicírculo superior do círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 4
A orientação vem do sentido em que
cresce: em
temos
e em
temos
. O movimento vai de
até
no sentido anti-horário.
Passo 5
Esboço no plano complexo:
Trace um semicírculo de raio 1 acima do eixo real, unindo o ponto ao ponto
. Coloque uma flecha no arco indicando o sentido anti-horário (da direita para a esquerda passando pelo ponto superior
).
Trace um semicírculo de raio 1 acima do eixo real, unindo o ponto
Resposta
O caminho é o semicírculo unitário superior, dado por
orientado de
a
no sentido anti-horário.
O esboço é o arco acima do eixo real, com flecha de passando por
até
.
O esboço é o arco acima do eixo real, com flecha de