Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=3+4 i+5 e^{i t}(\pi \leqq t \leqq 2 \pi)

Passo 1

O enunciado nos dá o caminho
z(t)=3+4\,i+5\,e^{i t},\quad \pi\le t\le2\pi.
Isso é um percurso no plano complexo. Vamos usar que e^{i t} descreve a circunferência unitária centrada em 0 percorrida no sentido anti-horário e, em seguida, transladá-la e escalar em raio.

Passo 2

Reescrevendo
z(t)=(3+4\,i)+5\,e^{i t},
vemos que se trata de uma circunferência de raio 5 centrada em
z_0=3+4\,i\quad\longleftrightarrow\quad(3,4)
no plano (x,y).

Passo 3

Como t varia de \pi até 2\pi, o fator e^{i t} percorre da direção de ângulo \pi até a de ângulo 2\pi. Isso corresponde exatamente à semicircunferência inferior (parte de baixo) da circunferência.
Os pontos inicial e final são
z(\pi)=3+4\,i+5\,e^{i\pi}=(3-5)+4\,i=(-2,4),
z(2\pi)=3+4\,i+5\,e^{i2\pi}=(3+5)+4\,i=(8,4).

Passo 4

Como t cresce em [\pi,2\pi] e e^{i t} gira no sentido anti-horário, percorremos a semicircunferência inferior de (-2,4) até (8,4) no sentido anti-horário.

Passo 5

Esboço do caminho no plano (x,y):
  • Centro em (3,4).
  • Raio 5.
  • Início em (-2,4), desce até (3,-1) (ponto inferior) e retorna a (8,4).
  • Orientação: sentido anti-horário.

Resposta

O caminho é a semicircunferência de raio 5 e centro em (3,4), correspondente ao arco de ângulo \pi a 2\pi, iniciando em (-2,4) e terminando em (8,4), percorrido no sentido anti-horário.

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