Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩾-1} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩾ 1}
f: A → B
f(x)=x^{2}+2 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon Ato B, A=xinRmid x>=-1,;B=yinRmid y>=1,
f(x)=x^2+2x+2,
e pede a inversa f^-1colon Bto A.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) completando o quadrado:
f(x)=x^2+2x+2=(x+1)^2+1

Passo 3

Para inverter, chamamos y=f(x) e isolamos x:
y=(x+1)^2+1 Longrightarrow (x+1)^2=y-1

Passo 4

Como xin A satisfaz x>=-1, temos x+1>=0. Logo, ao extrair a raiz, tomamos a raiz positiva:
x+1=raizy-1 Longrightarrow x=-1+raizy-1

Passo 5

Portanto a inversa f^-1 é dada por
f^-1(y)=-1+raizy-1,
com domínio y>=1 (isto é, B) e imagem em x>=-1 (isto é, A).

Resposta

f^-1(y)=-1+raizy-1, y>=1

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