Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩽-1} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩽ 5}
f: A → B
f(x)=-x^{2}-2 x+4
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩽-1} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩽ 5}
f: A → B
f(x)=-x^{2}-2 x+4
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O objetivo é encontrar
, ou seja, resolver
para
de modo a obter
em função de
, respeitando o domínio
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar que
é injetiva em
. Calculamos a derivada:
Como em
temos
, então
e, portanto,
Logo,
é não decrescente em
e, por ser uma parábola invertida restringida a
, é de fato estritamente crescente em todo o domínio, garantindo injetividade.
Passo 3
Agora impomos
e reorganizamos em forma de equação quadrática em
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de resolução de a
b
, com
,
,
:
Passo 5
Temos duas raízes,
Como queremos
, a única que satisfaz é
Passo 6
Portanto a inversa fica
onde o domínio de
é
(para manter o radicando
) e a imagem está em
.