Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩽-1} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩽ 5}
f: A → B
f(x)=-x^{2}-2 x+4

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon Ato B, A=xinRmid x<= -1, B=yinRmid y<=5,
definida por
f(x)=-x^2-2x+4
O objetivo é encontrar f^-1, ou seja, resolver y=f(x) para x de modo a obter x em função de y, respeitando o domínio A.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que f é injetiva em A. Calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(-x^2-2x+4r)=-2x-2=-2(x+1)
Como em A temos x<=-1, então x+1<=0 e, portanto,
f'(x)=-2(x+1)>=0
Logo, f é não decrescente em A e, por ser uma parábola invertida restringida a x<=-1, é de fato estritamente crescente em todo o domínio, garantindo injetividade.

Passo 3

Agora impomos y=f(x) e reorganizamos em forma de equação quadrática em x:
y=-x^2-2x+4 Longrightarrow -x^2-2x+(4-y)=0 Longrightarrow x^2+2x+(y-4)=0

Passo 4

Aplicando a fórmula de resolução de a x^2 +b x+c =0, com a=1, b=2, c=y-4:
x=-2pmraiz2^2-4cdot1cdot(y-4)2 =-2pmraiz4-4y+162 =-2pmraiz20-4y2 =-1pmraiz5-y

Passo 5

Temos duas raízes,
x1=-1+raiz5-y, x2=-1-raiz5-y
Como queremos x<=-1, a única que satisfaz é
x2=-1-raiz5-y

Passo 6

Portanto a inversa fica
f^-1colon Bto A, f^-1(y)=-1-raiz5-y,
onde o domínio de f^-1 é y<=5 (para manter o radicando >=0) e a imagem está em x<=-1.

Resposta

f^-1(y)=-1-raiz5-y, y<=5

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