Seja a função f em R definida por f(x)=2 x+|x+1|-|2 x-4|. Determine a função inversa de f. Calcule f^-1(42).

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
f(x)=2x+lvert x+1rvert-lvert 2x-4rvert
definida em R, e depois o valor de f^-1(42).
O conteúdo principal é função definida por partes (devido aos valores absolutos) e inversão de funções lineares.
Para resolver vamos:
1. Identificar os pontos de quebra ( x+1=0 e 2x-4=0).
2. Escrever f(x) em cada intervalo sem o módulo.
3. Inverter cada ramo linear e reunir em uma única expressão para f^-1(y).
4. Calcular f^-1(42).

Passo 2

Os módulos mudam de sinal em x=-1 e em x=2. Então temos três intervalos:
1. Para x<= -1 temos x+1<= 0 e 2x-4<= 0.
Logo
lvert x+1rvert=-(x+1), lvert 2x-4rvert=-(2x-4)
e
f(x)=2x-(x+1)-l(-(2x-4)r)=3x-5
2. Para -1<= x<= 2 temos x+1>= 0 e 2x-4<= 0.
Logo
lvert x+1rvert=x+1, lvert 2x-4rvert=-(2x-4)
e
f(x)=2x+(x+1)-l(-(2x-4)r)=5x-3
3. Para x>= 2 temos x+1>= 0 e 2x-4>= 0.
Logo
lvert x+1rvert=x+1, lvert 2x-4rvert=2x-4
e
f(x)=2x+(x+1)-(2x-4)=x+5
Conferimos que em x=-1 e x=2 as três fórmulas coincidem e que todos os coeficientes angulares são positivos ( 3, 5 e 1), logo f é estritamente crescente e invertível.

Passo 3

Em cada ramo temos uma função linear da forma y=mx+b. Invertendo:
  • Se y=3x-5 e vale para x<= -1, então
    x=y+53,
    e como em x=-1 temos y( -1)=3(-1)-5=-8, esse ramo gera y<= -8.
  • Se y=5x-3 e vale para -1<= x<= 2, então
    x=y+35,
    e como em x=-1 obtemos y=-8 e em x=2 obtemos y=7, esse ramo gera -8<= y<= 7.
  • Se y=x+5 e vale para x>= 2, então
    x=y-5,
    e como em x=2 temos y=7, esse ramo gera y>= 7.
Logo
f^-1(y)= dfracy+53,&y<= -8,[6pt] dfracy+35,&-8<= y<= 7,[6pt] y-5,&y>= 7
]

Passo 4

Para y=42 temos 42>= 7, então usamos o terceiro ramo:
f^-1(42)=42-5=37

Resposta

f^-1(y)= dfracy+53,&y<= -8,[6pt] dfracy+35,&-8<= y<= 7,[6pt] y-5,&y>= 7,
f^-1(42)=37
]

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