Seja a função em definida por . Determine a função inversa de . Calcule .
Passo 1
O enunciado pede a inversa de
definida em , e depois o valor de .
O conteúdo principal é função definida por partes (devido aos valores absolutos) e inversão de funções lineares.
Para resolver vamos: . Identificar os pontos de quebra ( e ). . Escrever em cada intervalo sem o módulo. . Inverter cada ramo linear e reunir em uma única expressão para . . Calcular .
Passo 2
Os módulos mudam de sinal em e em . Então temos três intervalos:
. Para temos e .
Logo
e
. Para temos e .
Logo
e
. Para temos e .
Logo
e
Conferimos que em e as três fórmulas coincidem e que todos os coeficientes angulares são positivos (, e ), logo é estritamente crescente e invertível.
Passo 3
Em cada ramo temos uma função linear da forma . Invertendo:
Se e vale para , então
e como em temos , esse ramo gera .
Se e vale para , então
e como em obtemos e em obtemos , esse ramo gera .
Se e vale para , então
e como em temos , esse ramo gera .
Logo
]
Passo 4
Para y=42 temos 42>= 7, então usamos o terceiro ramo: