Obtenha a função inversa das seguintes funções:
f: R+ B, em que B=y in R mid y <= 4
f(x)=4-x^2

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon R+ to B, B=yinRmid y<=4,
definida por
f(x)=4 - x^2
O objetivo é obter f^-1. Para isso, precisamos verificar que f é bijetora em R+ e então resolver y=4-x^2 isolando x.

Passo 2

Mostramos que f é injetora e sobrejetora em seu contradomínio B.
Como para x>0 temos
f'(x) = -2x < 0,
a função é estritamente decrescente em R+, logo injetora.
Além disso, quando x varia em [0,infty), f(x) varia de 4 até -infty, cobrindo todo B. Assim f é bijetora entre R+ e B.

Passo 3

Escrevemos a equação
y = 4 - x^2
e isolamos x. Primeiro temos
x^2 = 4 - y
e portanto
x = pm raiz4 - y

Passo 4

Como x pertence a R+, escolhemos a raiz positiva. Assim
f^-1(y) = raiz4 - y

Passo 5

O domínio de f^-1 é o conjunto B=y<=4 e a imagem é R+. Portanto
f^-1colon B to R+, f^-1(y)=raiz4 - y

Resposta

f^-1(y)=raiz4-y,; com domínio y<=4.

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