Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=x^33-32 x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar onde a função
f(x)=x^33-32x^2+2x+1
é crescente ou decrescente e ainda determinar eventuais pontos de máximo e mínimo. O conteúdo que vamos usar é o teste da derivada: calcular f'(x), encontrar pontos críticos e estudar o sinal de f'; e também usar f''(x) para classificar esses pontos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira de f. Como
ddxl(tfracx^33r)=x^2, ddxl(-tfrac32x^2r)=-3x, ddx(2x)=2,
obtemos
f'(x)=x^2-3x+2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=x^2-3x+2=0
Fatorando,
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0
logo os pontos críticos são x=1 e x=2.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=(x-1)(x-2):
— Para x<1, ambos os fatores (x-1) e (x-2) são negativos, então f'(x)>0.
— Para 1<x<2, (x-1)>0 e (x-2)<0, então f'(x)<0.
— Para x>2, ambos são positivos, logo f'(x)>0.
Isso mostra que f é crescente em (-infty,1), decrescente em (1,2) e crescente em (2,infty).

Passo 5

Para classificar máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(x^2-3x+2)=2x-3
Em x=1 temos f''(1)=2cdot1-3=-1<0, indicando um máximo local. Em x=2 temos f''(2)=2cdot2-3=1>0, indicando um mínimo local.

Passo 6

Finalmente, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(1)=1^33-32cdot1^2+2cdot1+1 =13-32+2+1 =13+32= 116,
f(2)=2^33-32cdot2^2+2cdot2+1 =83-6+4+1 =83-1 =53

Resposta

A função é crescente em (-infty,1) e em (2,infty), decrescente em (1,2).
Há um ponto de máximo local em l(1,tfrac116r) e um ponto de mínimo local em l(2,tfrac53r).

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