Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar onde a função
é crescente ou decrescente e ainda determinar eventuais pontos de máximo e mínimo. O conteúdo que vamos usar é o teste da derivada: calcular
, encontrar pontos críticos e estudar o sinal de
; e também usar
para classificar esses pontos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira de
. Como
obtemos
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Fatorando,
logo os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Estudamos o sinal de
:
— Para , ambos os fatores
e
são negativos, então
.
— Para ,
e
, então
.
— Para , ambos são positivos, logo
.
Isso mostra que é crescente em
, decrescente em
e crescente em
.
— Para
— Para
— Para
Isso mostra que
Passo 5
Para classificar máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada:
Em
temos
, indicando um máximo local. Em
temos
, indicando um mínimo local.
Passo 6
Finalmente, calculamos os valores de
nesses pontos:
Resposta
A função é crescente em
e em
, decrescente em
.
Há um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em
.
Há um ponto de máximo local em