Obtenha o potencial entre dois cilindros coaxiais infinitos de raios r_{1} e r_{2} com potenciais U_{1} e U_{2}, respectivamente. Encontre o potencial complexo.
r_{1}=1, r_{2}=10, U_{1}=100 \mathrm{~V}, U_{2}=1 \mathrm{kV}

Passo 1

O enunciado nos dá dois cilindros coaxiais infinitos de raios \displaystyle r_{1}=1 e \displaystyle r_{2}=10, mantidos a potenciais \displaystyle U_{1}=100\text{ V} e \displaystyle U_{2}=1\,000\text{ V}. Precisamos achar o potencial eletrostático V(r) na região entre eles e, em seguida, escrever o potencial complexo W(z). O método usa a simetria cilíndrica e a solução da equação de Laplace em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, sem dependência de z nem de \theta, a equação de Laplace para o potencial \varphi(r) reduz-se a
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{d\varphi}{dr}\Bigr)=0.
Integrando uma vez obtemos
r\,\frac{d\varphi}{dr} = C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\varphi}{dr} = \frac{C_1}{r},
e integrando de novo,
\varphi(r) = C_1\ln r + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 3

As condições de contorno são
\varphi(r_{1})=U_{1}, \qquad \varphi(r_{2})=U_{2}.
Substituindo \varphi(r)=C_1\ln r + C_2 em cada uma:
C_1\ln r_{1} + C_2 = U_{1}, \qquad C_1\ln r_{2} + C_2 = U_{2}.
Subtraindo as duas equações eliminamos C_2:
C_1\bigl(\ln r_{2}-\ln r_{1}\bigr)=U_{2}-U_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{U_{2}-U_{1}}{\ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}.
Em seguida,
C_2 = U_{1} - C_1\ln r_{1}.

Passo 4

Agora usamos os valores numéricos:
U_{2}-U_{1}=1\,000 - 100 = 900\text{ V}, \qquad \ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)=\ln(10/1)=\ln 10.
Logo,
C_1 = \frac{900}{\ln 10}, \qquad C_2 = 100 - \frac{900}{\ln 10}\ln 1 = 100.

Passo 5

Portanto o potencial escalar entre os cilindros é
V(r) = \varphi(r) = 100 + \frac{900}{\ln 10}\,\ln r.
O potencial complexo W(z), que é a função analítica cuja parte real é V(r), fica
W(z) = \frac{900}{\ln 10}\,\ln z \;+\;100,
pois \Re\{\ln z\}=\ln|z| recupera exatamente V(r).

Resposta

O potencial eletrostático escalar é
V(r) = 100 + \frac{900}{\ln 10}\,\ln r
e o potencial complexo é
W(z) = \frac{900}{\ln 10}\,\ln z \;+\;100.

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