Obtenha o potencial entre dois cilindros coaxiais infinitos de raios
e
com potenciais
e
, respectivamente. Encontre o potencial complexo.
Passo 1
O enunciado nos dá dois cilindros coaxiais infinitos de raios
e
, mantidos a potenciais
e
. Precisamos achar o potencial eletrostático
na região entre eles e, em seguida, escrever o potencial complexo
. O método usa a simetria cilíndrica e a solução da equação de Laplace em coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, sem dependência de
nem de
, a equação de Laplace para o potencial
reduz-se a
Integrando uma vez obtemos
e integrando de novo,
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 3
As condições de contorno são
Substituindo
em cada uma:
Subtraindo as duas equações eliminamos
:
Em seguida,
Passo 4
Agora usamos os valores numéricos:
Logo,
Passo 5
Portanto o potencial escalar entre os cilindros é
O potencial complexo
, que é a função analítica cuja parte real é
, fica
pois
recupera exatamente
.
Resposta
O potencial eletrostático escalar é
e o potencial complexo é