(Olimpíada da Argentina-01) Carlos escreve a lista de todos os números naturais menores que 10000 que têm exatamente dois digitos 1 consecutivos. (Por exemplo. 113, 5112, 1181 estão na lista de Carlos, porém 1312, 2111 no estão na lista de Carlos.) Achar quantos números tem a lista de Carlos.

Solução:

Os números devem ser de uma das formas: 11 yz , y 11 z ou yzll.
Analisemos cada uma:
i) Ilyz: 9 maneiras de escolher y (não pode ser igual a l) e 10 maneitas de escolher z (sem restrições) \rightarrow 9 \times 10=90 possibilidades
ii) y llz: 9 maneiras de escolher y (năo pode valer 1) e 9 maneiras de escolher z (nào pode ser igual a 1) \rightarrow 9 \times 9=81 possibilidades
iii) yzl1: 10 maneiras de escolher y (sem restrições, pode até valer 0) e 9 maneiras de escolher z (não pode ser igual a 1 ) \rightarrow 10 \times 9=90 possibilidades

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números naturais menores que 10000 que contêm exatamente dois dígitos 1 consecutivos — ou seja, há uma única ocorrência da substring “11” e ela não faz parte de uma sequência maior de 1s. O conteúdo envolve contagem de sequências de dígitos com restrições, e vamos modelar cada número como uma palavra de comprimento 4 sobre o alfabeto \{0,1,\dots,9\} (usando zeros à esquerda) para uniformizar a análise por posições.

Passo 2

Denotemos um número genérico pelas posições (d_1d_2d_3d_4). Queremos contar as palavras em que exatamente um par adjacente (d_i,d_{i+1})=(1,1) ocorre, para i\in\{1,2,3\}, e que não haja nenhum outro par “11” em posições distintas. Vamos tratar caso a caso para i=1,2,3.

Passo 3

Caso i=1: fixamos
(d_1,d_2)=(1,1).
Para não formar outro “11” em (d_2,d_3) nem em (d_3,d_4), basta exigir
d_3\neq1.
Assim d_3 tem 9 opções e d_4 tem 10. Total de casos:
9\times10 = 90.

Passo 4

Caso i=2: fixamos
(d_2,d_3)=(1,1).
Para não ter “11” em (d_1,d_2) nem em (d_3,d_4), impomos
d_1\neq1,\quad d_4\neq1.
Logo d_1 tem 9 opções e d_4 tem 9. Total de casos:
9\times9 = 81.

Passo 5

Caso i=3: fixamos
(d_3,d_4)=(1,1).
Para evitar “11” em (d_2,d_3), basta
d_2\neq1.
Assim d_2 tem 9 opções e d_1 tem 10. Total de casos:
10\times9 = 90.

Passo 6

Somando os três casos disjuntos, obtemos
90 + 81 + 90 = 261.

Resposta

261

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