(Olimpiada da Austrália-18) Determine o número formado pelos últimos 3 digitos da soma
.
Passo 1
O enunciado pede os três últimos dígitos da soma dos fatoriais dos números pares de 2 a 2018, ou seja, de
O conteúdo aqui envolve análise de divisibilidade de fatoriais e cálculo de restos módulo 1000.
Passo 2
Para ver a partir de qual
temos
, lembramos que
.
O expoente de 5 em é
O expoente de 5 em
e esse expoente atinge 3 já para
. Como o expoente de 2 em
é muito maior que 3 para
, conclui-se que
Passo 3
Logo, os termos a partir de
são todos congruentes a 0 módulo 1000. Só precisamos somar
Passo 4
Calculamos cada fatorial módulo 1000:
Passo 5
Somando todos os restos módulo 1000:
Resposta
666