(Olimpiada da Austrália-18) Determine o número formado pelos últimos 3 digitos da soma 2!+4!+6!+\ldots+2018!.

Passo 1

O enunciado pede os três últimos dígitos da soma dos fatoriais dos números pares de 2 a 2018, ou seja, de
2! + 4! + 6! + \cdots + 2018!.
O conteúdo aqui envolve análise de divisibilidade de fatoriais e cálculo de restos módulo 1000.

Passo 2

Para ver a partir de qual n temos \,n!\equiv0\pmod{1000}, lembramos que 1000=2^3\cdot5^3.
O expoente de 5 em n! é
\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{5^k}\right\rfloor,
e esse expoente atinge 3 já para n=15. Como o expoente de 2 em n! é muito maior que 3 para n\ge15, conclui-se que
n!\equiv0\pmod{1000}\quad\text{para todo }n\ge15.

Passo 3

Logo, os termos a partir de 16! são todos congruentes a 0 módulo 1000. Só precisamos somar
2!+4!+6!+8!+10!+12!+14! \quad(\bmod\;1000).

Passo 4

Calculamos cada fatorial módulo 1000:
2! = 2,
4! = 24,
6! = 720,
8! = 40320 \equiv 320\pmod{1000},
10! = 3628800 \equiv 800\pmod{1000},
12! = 479001600 \equiv 600\pmod{1000},
14! = 14\times13\times12! \equiv 14\times13\times600 =109200\equiv200\pmod{1000}.

Passo 5

Somando todos os restos módulo 1000:
2 + 24 + 720 + 320 + 800 + 600 + 200 = 2666 \equiv 666\pmod{1000}.

Resposta

666

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