(Olimpiada da Bélgica-94) Cada lado de um cubo é pintado de uma cor (existem 6 disponiveis). De quantas maneiras é possivel fazer isto? Sabe-se que duas colorações são idènticas se podem ser obtidas por rotação do cubo.
a) 30
b) 60
c) 120
d) 360
e) 720

Solução: Alternativa A

Suponha que as 6 cores sejam representadas pelas letras A, B, C, D, E e F. Começando com o cubo sem nenhuma face pintada, vamos escolher uma face para ser pintada pela cor A. Repare que escolha da face é irrelevante, pois a situação do cubo com apenas uma face pintada pela cor A pode ser obtida por rotação do cubo, independentemente da face escolhida para ser pintada. Vamos agora escolher a cor
para pintar a face oposta à face pintada pela cor A. Para tanto temos 5 possibilidades. Agora temos 4 cores para pintar as 4 faces restantes. Coloquemos as faces já pintadas como bases do cubo. Devido à simetria das faces laterais (que ainda não foram pintadas) e o fato de duas colorações serem idênticas se podem ser obtidas por rotação do cubo, então o que falta fazer é permutar circularmente as 4 cores restantes nas faces laterais do cubo, o que nos fornece (4-1)!=3 ! permutações. Como temos que pintar as bases e as faces laterais, no total temos 5.3!=30 colorações distintas.

Passo 1

O problema pede o número de colorações das seis faces de um cubo usando seis cores distintas (cada cor é usada exatamente uma vez), considerando duas colorações idênticas se há uma rotação do cubo que leva uma na outra. O conteúdo aqui é contagem de órbitas sob a ação do grupo de rotações do cubo. Vamos usar a estratégia de “quebrar” as simetrias fixando uma face e depois contar as colorações restantes moduladas pelas rotações que preservam essa face.

Passo 2

Escolhemos uma cor (digamos A) e fixamos-na na face superior do cubo. Como qualquer coloração pode ser girada para colocar A em cima, essa escolha não perde casos. Agora sobra uma cor para cada uma das demais faces, e em particular a face inferior pode receber qualquer uma das outras 5 cores. Logo, há
5
escolhas para a cor da face oposta a A.

Passo 3

Restam 4 cores e 4 faces laterais formando um anel em torno do eixo vertical. As rotações em torno desse eixo formam um grupo cíclico de ordem 4 que deixa A em cima e a face de baixo também fixa. O número de maneiras de dispor 4 cores distintas em 4 posições ao redor de um ciclo, moduladas por rotações, é
(4-1)! \;=\;3! \;=\;6.

Passo 4

Multiplicamos as escolhas independentes:
5\quad(\text{para a face de baixo})\;\times\;6\quad(\text{para as laterais})\;=\;30.

Resposta

30

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