Quantas são as permutações dos números (
) nas quais o 5 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3 , embora não necessariamente em lugares consecutivos?
Solução:
Nesta questão abordaremos um fato pertinente à análise das permutações ainda não explorado, que é a simetria. Tome uma das permutações possiveis, por exemplo
Observe que se permutarmos os números 2,5 e 3 , mantendo fixas as posições dos demais números, obteremos todas as posições relativas possiveis para 2,5 e 3 :
Observe também que em apenas uma destas seis posições relativas temos o 5 situado à direita do 2 e à esquerda do 3. Por outro lado, se mantivermos fixos os números 2, 5 e 3 e permutarmos os demais seis números, para cada posição relativa de 2,5 e 3 temos sempre 6! permutaçōes possiveis. Desta forma, podemos concluir que, devido à simetria existente, cada uma das seis posições relativas dos números 2,5 e 3 ocorre um igual número de vezes. Assim, o número de vezes em que o 5 situado à direita do 2 e à esquerda do 3 é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações dos nove dígitos
em que o
aparece à direita do
e à esquerda do
, não necessariamente em posições consecutivas. Isso é um problema de permutações com restrição de ordem relativa entre três elementos.
Passo 2
Primeiro, escolhemos as três posições (entre as
disponíveis) onde ficarão os dígitos
. Há
maneiras de escolher esse conjunto de posições.
Passo 3
Dessas três posições, queremos exatamente a ordem
···\
···\
. Como existem
ordens possíveis para
e apenas uma delas é a desejada, fixamos essa única disposição.
Passo 4
Nas
vagas restantes, permutamos livremente os outros
dígitos, o que pode ser feito de
maneiras. Logo, o total de permutações válidas é