Quantas são as permutações dos números ( 1,2, \ldots, 9 ) nas quais o 5 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3 , embora não necessariamente em lugares consecutivos?

Solução:

Nesta questão abordaremos um fato pertinente à análise das permutações ainda não explorado, que é a simetria. Tome uma das permutações possiveis, por exemplo
\underline{2} 4 \underline{5} 961 \underline{3} 78 .
Observe que se permutarmos os números 2,5 e 3 , mantendo fixas as posições dos demais números, obteremos todas as posições relativas possiveis para 2,5 e 3 :
\begin{aligned} & 245961378, \quad 243961578, \quad 543961278, \\\ & 542961378, \quad 345961278, \quad 342961578 \end{aligned}
Observe também que em apenas uma destas seis posições relativas temos o 5 situado à direita do 2 e à esquerda do 3. Por outro lado, se mantivermos fixos os números 2, 5 e 3 e permutarmos os demais seis números, para cada posição relativa de 2,5 e 3 temos sempre 6! permutaçōes possiveis. Desta forma, podemos concluir que, devido à simetria existente, cada uma das seis posições relativas dos números 2,5 e 3 ocorre um igual número de vezes. Assim, o número de vezes em que o 5 situado à direita do 2 e à esquerda do 3 é igual a \frac{9!}{3!}=60480.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações dos nove dígitos (1,2,\dots,9) em que o 5 aparece à direita do 2 e à esquerda do 3, não necessariamente em posições consecutivas. Isso é um problema de permutações com restrição de ordem relativa entre três elementos.

Passo 2

Primeiro, escolhemos as três posições (entre as 9 disponíveis) onde ficarão os dígitos 2,5,3. Há
\binom{9}{3}
maneiras de escolher esse conjunto de posições.

Passo 3

Dessas três posições, queremos exatamente a ordem 2 ···\ 5 ···\ 3. Como existem 3! = 6 ordens possíveis para \{2,5,3\} e apenas uma delas é a desejada, fixamos essa única disposição.

Passo 4

Nas 6 vagas restantes, permutamos livremente os outros 6 dígitos, o que pode ser feito de 6! maneiras. Logo, o total de permutações válidas é
\binom{9}{3}\times 1\times 6! \;=\; 84 \times 720 \;=\; 60\,480.

Resposta

60480

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