(Olimpiada da Inglaterra-66) Prove que \sqrt{2}, \sqrt{3} e \sqrt{5} não podem ser termos de uma mesına progressāo aritmética.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe progressão aritmética cujos termos em três posições quaisquer sejam \sqrt2,\;\sqrt3,\;\sqrt5.
Conteúdo: propriedades de progressão aritmética e argumentos de irracionalidade.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma PA de primeiro termo a e razão d, e que em posições i<j<k apareçam
a+(i-1)d = \sqrt2,\quad a+(j-1)d = \sqrt3,\quad a+(k-1)d = \sqrt5.
Então
\sqrt3-\sqrt2 = (j-i)\,d, \quad \sqrt5-\sqrt3 = (k-j)\,d.
Dividindo essas duas igualdades, obtemos
\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt3} =\frac{j-i}{\,k-j\,},
e o lado direito é racional, pois (j-i) e (k-j) são inteiros. Portanto
r\;\equiv\;\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt3} \;\in\;\mathbb{Q}.

Passo 3

Vamos mostrar que r é irracional. Suponha r\in\mathbb{Q}. Então
\sqrt3-\sqrt2 = r\bigl(\sqrt5-\sqrt3\bigr) = r\sqrt5-r\sqrt3,
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\sqrt3 + r\sqrt3 = r\sqrt5 + \sqrt2 \;\;\Longrightarrow\;\; (1+r)\,\sqrt3 = r\sqrt5 + \sqrt2.
Quadrando os dois lados:
3\,(1+r)^2 = r^2\cdot5 + 2 + 2r\sqrt{10}.
Reescrevendo,
2r\sqrt{10} = 3(1+r)^2 -5r^2 -2 \;\in\;\mathbb{Q}.
Se r=0 0=1, impossível. Se r\neq0, divide-se por 2r e conclui-se \sqrt{10}\in\mathbb{Q}, também impossível. Portanto r\notin\mathbb{Q}.

Passo 4

Chegamos à contradição: da suposição que \sqrt2,\sqrt3,\sqrt5 estivessem na mesma PA seguiria r\in\mathbb{Q}, mas mostramos r\notin\mathbb{Q}.

Resposta

Não existe progressão aritmética que contenha \sqrt2,\;\sqrt3 e \sqrt5 como três de seus termos.

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