(Olimpiada da Inglaterra-66) Prove que
e
não podem ser termos de uma mesına progressāo aritmética.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe progressão aritmética cujos termos em três posições quaisquer sejam
.
Conteúdo: propriedades de progressão aritmética e argumentos de irracionalidade.
Conteúdo: propriedades de progressão aritmética e argumentos de irracionalidade.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma PA de primeiro termo
e razão
, e que em posições
apareçam
Então
Dividindo essas duas igualdades, obtemos
e o lado direito é racional, pois
e
são inteiros. Portanto
Passo 3
Vamos mostrar que
é irracional. Suponha
. Então
logo
Quadrando os dois lados:
Reescrevendo,
Se
dá
, impossível. Se
, divide-se por
e conclui-se
, também impossível. Portanto
.
Passo 4
Chegamos à contradição: da suposição que
estivessem na mesma PA seguiria
, mas mostramos
.
Resposta
Não existe progressão aritmética que contenha
e
como três de seus termos.