(Olimpiada do Rio Grande do Norte-19) A soma:
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Solução: Alternativa A
A soma
é a soma de
termos de uma PA de
termo 1 e razão
1 , ou scia,
.
Assim:
Note que
, ou seja:
a)
b)
c)
d)
e)
1 , ou scia,
Assim:
Note que
Passo 1
O enunciado pede a soma
e queremos reconhecer que cada denominador é a soma dos primeiros inteiros de
até
. O conteúdo usado será fórmula da soma de uma PA e métodos de frações parciais para obter uma soma telescópica.
Passo 2
A soma dos
primeiros inteiros é dada por
Logo o
-ésimo termo da nossa série é
e assim podemos reescrever
Passo 3
Para aplicar telescopia, decompomos cada fração:
Essa é a técnica de frações parciais, que separa o termo em duas parcelas com efeitos cancelatórios.
Passo 4
Substituindo na soma e expandindo obtemos
Na soma telescópica todos os termos internos cancelam, sobrando apenas
Passo 5
Basta simplificar: