(Olimpiada do Rio Grande do Norte-19) A soma:
S=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+4+\ldots+51}
é igual a:
a) 25 / 26
b) 51 / 52
c) 23 / 53
d) 1 / 23
e) 23 / 52

Solução: Alternativa A

A soma S_{n}=1+2+3+\ldots+n é a soma de n termos de uma PA de 1^{\circ} termo 1 e razão
1 , ou scia, S_{n}=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Assim: \mathrm{S}=\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+\ldots+\frac{2}{51.52}=\sum_{\mathrm{k}=2}^{51} \frac{2}{\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)}
Note que \frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right), ou seja:
\mathrm{S}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\ldots+2\left(-\frac{1}{51}-\frac{1}{52}\right) \Rightarrow
\mathrm{S}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{y}{b}+\frac{y}{b}-\frac{y}{4}+\frac{y}{4}-\frac{y}{b}+\ldots+\frac{1}{b}-\frac{1}{52}\right)=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{52}\right)=\not 2\left(\frac{52-2}{\not 2.52}\right) \Rightarrow
\mathrm{S}=\frac{25}{26}

Passo 1

O enunciado pede a soma
S=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+51}
e queremos reconhecer que cada denominador é a soma dos primeiros inteiros de 1 até n. O conteúdo usado será fórmula da soma de uma PA e métodos de frações parciais para obter uma soma telescópica.

Passo 2

A soma dos n primeiros inteiros é dada por
1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Logo o k-ésimo termo da nossa série é
\frac{1}{1+2+\cdots+k} =\frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} =\frac{2}{k(k+1)},
e assim podemos reescrever
S=\sum_{k=2}^{51}\frac{2}{k(k+1)}.

Passo 3

Para aplicar telescopia, decompomos cada fração:
\frac{2}{k(k+1)} =2\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr).
Essa é a técnica de frações parciais, que separa o termo em duas parcelas com efeitos cancelatórios.

Passo 4

Substituindo na soma e expandindo obtemos
S =\sum_{k=2}^{51}2\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) =2\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) +2\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Bigr) +\cdots +2\Bigl(\frac{1}{51}-\frac{1}{52}\Bigr).
Na soma telescópica todos os termos internos cancelam, sobrando apenas
S=2\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{52}\Bigr).

Passo 5

Basta simplificar:
S=2\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{52}\Bigr) =2\Bigl(\frac{26-1}{52}\Bigr) =2\cdot\frac{25}{52} =\frac{50}{52} =\frac{25}{26}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{26} (alternativa A)

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