6.1.3 Prove algebricamente que, para números complexos,
|z1|-|z2| <=|z1+z2| <=|z1|+|z2|
Interprete esse resultado em termos de vetores bidimensionais. Prove que
|z-1|<|raizz^2-1|<|z+1|, para Re(z)>0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar algebricamente que, para quaisquer números complexos z1 e z2,
lvert z1rvert - lvert z2rvert ;<=; lvert z1+z2rvert ;<=; lvert z1rvert + lvert z2rvert
Em seguida, interpretar esse resultado como a desigualdade triangular para vetores em R^2. Por fim, usando o caso especial z^2-1=(z-1)(z+1), provar que
lvert z-1rvert < llvert raiz,z^2-1rrvert < lvert z+1rvert sempre que Re(z)>0

Passo 2

Começamos com a prova algébrica da desigualdade triangular e da desigualdade reversa. Para isso usamos que, para todo winC,
lvert wrvert^2 = w,w e Re(w)<= lvert wrvert
Tomemos w=z1+z2. Então
lvert z1+z2rvert^2 = (z1+z2),(z1+z2) = lvert z1rvert^2 + lvert z2rvert^2 + 2,Re!l(z1,z2r)
Como -lvert z1rvertlvert z2rvert <= Re(z1z2)<= lvert z1rvertlvert z2rvert, segue
(lvert z1rvert-lvert z2rvert)^2 ;<=; lvert z1+z2rvert^2 ;<=; (lvert z1rvert+lvert z2rvert)^2
Tirando raiz positiva em todas as partes chega-se a
lvert z1rvert - lvert z2rvert ;<=; lvert z1+z2rvert ;<=; lvert z1rvert + lvert z2rvert

Passo 3

Em R^2 cada número complexo z=x+iy corresponde ao vetor (x,y). A desigualdade
lvert z1+z2rvert <= lvert z1rvert + lvert z2rvert
diz exatamente que o comprimento do vetor soma é no máximo a soma dos comprimentos—a clássica desigualdade triangular. A outra desigualdade
lvert z1rvert - lvert z2rvert <= lvert z1+z2rvert
é a mesma em versão “reversa” e decorre da mesma ideia geométrica, trocando z1rightarrow z2.

Passo 4

Agora, para zinC, nota-se que
z^2-1 = (z-1)(z+1)
Logo, tomando módulo e um ramo de raiz quadrada adequado,
llvert raiz,z^2-1rrvert = raizlvert z^2-1rvert = raizlvert z-1rvert,lvert z+1rvert

Passo 5

Precisamos ver que, se Re(z)>0, então
lvert z-1rvert < lvert z+1rvert
De fato,
lvert z+1rvert^2 - lvert z-1rvert^2 = l((x+1)^2+y^2r) - l((x-1)^2+y^2r) =4x
onde x=Re(z). Como x>0, temos lvert z+1rvert^2>lvert z-1rvert^2 e, portanto, lvert z+1rvert>lvert z-1rvert.

Passo 6

Chamando a=lvert z-1rvert e b=lvert z+1rvert, com 0<a<b, multiplicamos a<b por a e por b (todos positivos) para obter
a^2 < a,b < b^2
Tirando raiz,
a < raiza,b < b,
ou seja,
lvert z-1rvert < raizlvert z-1rvert,lvert z+1rvert = llvert raiz,z^2-1rrvert < lvert z+1rvert

Resposta

A desigualdade triangular e sua reversa ficam
lvert z1rvert - lvert z2rvert <= lvert z1+z2rvert <= lvert z1rvert + lvert z2rvert,
interpretação vetorial: comprimento do soma de vetores está entre a diferença e a soma dos comprimentos. Para Re(z)>0,
lvert z-1rvert < llvert raiz,z^2-1rrvert < lvert z+1rvert

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