6.1.3 Prove algebricamente que, para números complexos,
\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right| \leq\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| .
Interprete esse resultado em termos de vetores bidimensionais. Prove que
|z-1|<\left|\sqrt{z^{2}-1}\right|<|z+1|, \quad \text { para } \quad \Re(z)>0 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar algebricamente que, para quaisquer números complexos z_{1} e z_{2},
\lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert \;\le\; \lvert z_{1}+z_{2}\rvert \;\le\; \lvert z_{1}\rvert + \lvert z_{2}\rvert.
Em seguida, interpretar esse resultado como a desigualdade triangular para vetores em \mathbb{R}^{2}. Por fim, usando o caso especial z^2-1=(z-1)(z+1), provar que
\lvert z-1\rvert < \bigl\lvert \sqrt{\,z^{2}-1}\bigr\rvert < \lvert z+1\rvert \quad\text{sempre que}\quad \Re(z)>0.

Passo 2

Começamos com a prova algébrica da desigualdade triangular e da desigualdade reversa. Para isso usamos que, para todo w\in\mathbb{C},
\lvert w\rvert^2 = w\,\overline{w} \quad\text{e}\quad \Re(w)\le \lvert w\rvert.
Tomemos w=z_{1}+z_{2}. Então
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert^2 = (z_{1}+z_{2})\,\overline{(z_{1}+z_{2})} = \lvert z_{1}\rvert^2 + \lvert z_{2}\rvert^2 + 2\,\Re\!\bigl(z_{1}\,\overline{z_{2}}\bigr).
Como -\lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert \le \Re(z_{1}\overline{z_{2}})\le \lvert z_{1}\rvert\lvert z_{2}\rvert, segue
(\lvert z_{1}\rvert-\lvert z_{2}\rvert)^{2} \;\le\; \lvert z_{1}+z_{2}\rvert^{2} \;\le\; (\lvert z_{1}\rvert+\lvert z_{2}\rvert)^{2}.
Tirando raiz positiva em todas as partes chega-se a
\lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert \;\le\; \lvert z_{1}+z_{2}\rvert \;\le\; \lvert z_{1}\rvert + \lvert z_{2}\rvert.

Passo 3

Em \mathbb{R}^{2} cada número complexo z=x+iy corresponde ao vetor (x,y). A desigualdade
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert \le \lvert z_{1}\rvert + \lvert z_{2}\rvert
diz exatamente que o comprimento do vetor soma é no máximo a soma dos comprimentos—a clássica desigualdade triangular. A outra desigualdade
\lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert \le \lvert z_{1}+z_{2}\rvert
é a mesma em versão “reversa” e decorre da mesma ideia geométrica, trocando z_{1}\leftrightarrow z_{2}.

Passo 4

Agora, para z\in\mathbb{C}, nota-se que
z^{2}-1 = (z-1)(z+1).
Logo, tomando módulo e um ramo de raiz quadrada adequado,
\bigl\lvert \sqrt{\,z^{2}-1}\bigr\rvert = \sqrt{\lvert z^{2}-1\rvert} = \sqrt{\lvert z-1\rvert\,\lvert z+1\rvert}.

Passo 5

Precisamos ver que, se \Re(z)>0, então
\lvert z-1\rvert < \lvert z+1\rvert.
De fato,
\lvert z+1\rvert^{2} - \lvert z-1\rvert^{2} = \bigl((x+1)^{2}+y^{2}\bigr) - \bigl((x-1)^{2}+y^{2}\bigr) =4x
onde x=\Re(z). Como x>0, temos \lvert z+1\rvert^{2}>\lvert z-1\rvert^{2} e, portanto, \lvert z+1\rvert>\lvert z-1\rvert.

Passo 6

Chamando a=\lvert z-1\rvert e b=\lvert z+1\rvert, com 0<a<b, multiplicamos a<b por a e por b (todos positivos) para obter
a^{2} < a\,b < b^{2}.
Tirando raiz,
a < \sqrt{a\,b} < b,
ou seja,
\lvert z-1\rvert < \sqrt{\lvert z-1\rvert\,\lvert z+1\rvert} = \bigl\lvert \sqrt{\,z^{2}-1}\bigr\rvert < \lvert z+1\rvert.

Resposta

A desigualdade triangular e sua reversa ficam
\lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert \le \lvert z_{1}+z_{2}\rvert \le \lvert z_{1}\rvert + \lvert z_{2}\rvert,
interpretação vetorial: comprimento do soma de vetores está entre a diferença e a soma dos comprimentos. Para \Re(z)>0,
\lvert z-1\rvert < \bigl\lvert \sqrt{\,z^{2}-1}\bigr\rvert < \lvert z+1\rvert.

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