6.1.3 Prove algebricamente que, para números complexos,
Interprete esse resultado em termos de vetores bidimensionais. Prove que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar algebricamente que, para quaisquer números complexos
z1 e
z2 ,
Em seguida, interpretar esse resultado como a desigualdade triangular para vetores em
R^2 . Por fim, usando o caso especial
z^2-1=(z-1)(z+1) , provar que
Passo 2
Começamos com a prova algébrica da desigualdade triangular e da desigualdade reversa. Para isso usamos que, para todo
winC ,
Tomemos
w=z1+z2 . Então
Como
-lvert z1rvertlvert z2rvert <= Re(z1z2)<= lvert z1rvertlvert z2rvert , segue
Tirando raiz positiva em todas as partes chega-se a
Passo 3
Em
R^2 cada número complexo
z=x+iy corresponde ao vetor
(x,y) . A desigualdade
diz exatamente que o comprimento do vetor soma é no máximo a soma dos comprimentos—a clássica desigualdade triangular. A outra desigualdade
é a mesma em versão “reversa” e decorre da mesma ideia geométrica, trocando
z1rightarrow z2 .
Passo 4
Agora, para
zinC , nota-se que
Logo, tomando módulo e um ramo de raiz quadrada adequado,
Passo 5
Precisamos ver que, se
Re(z)>0 , então
De fato,
onde
x=Re(z) . Como
x>0 , temos
lvert z+1rvert^2>lvert z-1rvert^2 e, portanto,
lvert z+1rvert>lvert z-1rvert .
Passo 6
Chamando
a=lvert z-1rvert e
b=lvert z+1rvert , com
0<a<b , multiplicamos
a<b por
a e por
b (todos positivos) para obter
Tirando raiz,
ou seja,
Resposta
A desigualdade triangular e sua reversa ficam
interpretação vetorial: comprimento do soma de vetores está entre a diferença e a soma dos comprimentos. Para
Re(z)>0 ,