6.1.3 Prove algebricamente que, para números complexos,
Interprete esse resultado em termos de vetores bidimensionais. Prove que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar algebricamente que, para quaisquer números complexos
e
,
Em seguida, interpretar esse resultado como a desigualdade triangular para vetores em
. Por fim, usando o caso especial
, provar que
Passo 2
Começamos com a prova algébrica da desigualdade triangular e da desigualdade reversa. Para isso usamos que, para todo
,
Tomemos
. Então
Como
, segue
Tirando raiz positiva em todas as partes chega-se a
Passo 3
Em
cada número complexo
corresponde ao vetor
. A desigualdade
diz exatamente que o comprimento do vetor soma é no máximo a soma dos comprimentos—a clássica desigualdade triangular. A outra desigualdade
é a mesma em versão “reversa” e decorre da mesma ideia geométrica, trocando
.
Passo 4
Agora, para
, nota-se que
Logo, tomando módulo e um ramo de raiz quadrada adequado,
Passo 5
Precisamos ver que, se
, então
De fato,
onde
. Como
, temos
e, portanto,
.
Passo 6
Chamando
e
, com
, multiplicamos
por
e por
(todos positivos) para obter
Tirando raiz,
ou seja,
Resposta
A desigualdade triangular e sua reversa ficam
interpretação vetorial: comprimento do soma de vetores está entre a diferença e a soma dos comprimentos. Para
,