Se 52 operários gastaram 6 dias de 8 horas para cavar 45 m de canal, quantos dias de 10 horas serão necessários para que 39 operários, que são duas vezes mais ativos que os primeiros, cavem 60 m de outro canal, sendo as dificuldades do trabalho proporcionais assim como 6 está para 5?

Passo 1

O problema trata de trabalho (cavar canal) e envolve produtividade de operários, horas de trabalho e dificuldade da tarefa. No primeiro canal temos 52 operários trabalhando 6 dias de 8 h cada para cavar 45 m. No segundo, são 39 operários, cada um com o dobro da produtividade, trabalhando 10 h por dia, em um canal de 60 m cuja dificuldade é proporcional à do primeiro canal na razão 6: 5. O que queremos é o número de dias D nesse segundo caso.

Passo 2

Vamos usar o modelo de que o comprimento cavado L é proporcional ao produto
Wtimes Htimes Dtimes alphadiv d,
onde
,W:é o número de operários,
,H:é o número de horas por dia,
,D:é o número de dias,
,alpha:é a produtividade relativa de cada operário (unidades de canal por hora) e
,d:é um fator de dificuldade do terreno.

Passo 3

No primeiro trabalho temos
W1=52, H1=8, D1=6, alpha1=1, L1=45,
e dificuldade d1. Assim,
52 cdot 8 cdot 6 cdot 1d1=45

Passo 4

No segundo trabalho temos
W2=39, H2=10, D2=D, alpha2=2, L2=60,
e dificuldade d2. Como as dificuldades são proporcionais a 6: 5, vale
d1d2=65 Longrightarrow d2=56,d1
Logo a regra de três geral dá
52cdot 8cdot 6d1 39cdot 10cdot Dcdot 2d2 =4560

Passo 5

Substituindo d2=(5/6)d1 e simplificando:
52cdot 8cdot 6d1;/; 39cdot 10cdot 2cdot Dtfrac56d1 =4560 Longrightarrow 52cdot 8cdot 61times56;/;(39cdot 10cdot 2cdot D) =34
As contas ficam
52cdot 8cdot cancel6times5cancel6,cdot39cdot10cdot2cdot D =34 Longrightarrow 2080780,D=34,
de onde
2080780,D=34 Longrightarrow 4cdot2080=3cdot780,D Longrightarrow D=4cdot20803cdot780=83202340=329

Resposta

329 dias (aproximadamente 3,56 dias).

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