1.5.16 \operatorname{Se} \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}^{\prime}=\delta_{x y},(\mathbf{x}, \mathbf{y}=\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}), prove que
\mathbf{a}^{\prime}=\frac{\mathbf{b} \times \mathbf{c}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}}
(Este problema é o inverso do Problema 1.5.15.)

Passo 1

O enunciado define três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} em \mathbb{R}^3 e seus vetores recíprocos \mathbf{a}',\mathbf{b}',\mathbf{c}' pelo critério
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}'=\delta_{xy}, \quad (\mathbf{x},\mathbf{y}\in\{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\}),
onde \delta_{xy} é o delta de Kronecker. Em particular \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}'=1 e \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}'=0, \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}'=0. Vamos usar a propriedade do produto vetorial de que \mathbf{b}\times\mathbf{c} é ortogonal a \mathbf{b} e a \mathbf{c}, e o produto misto \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Passo 2

Como \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}'=0 e \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}'=0, o vetor \mathbf{a}' deve ser paralelo ao vetor ortogonal a \mathbf{b} e \mathbf{c}, ou seja,
\mathbf{a}'=\lambda\,\bigl(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\bigr)
para algum escalar \lambda.

Passo 3

Impondo \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}'=1 temos
\mathbf{a}\cdot\bigl(\lambda(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr) =\lambda\;\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =1.
Logo
\lambda=\frac{1}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})},
e portanto
\mathbf{a}'=\frac{\mathbf{b}\times\mathbf{c}}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}.

Resposta

\mathbf{a}'=\frac{\mathbf{b}\times\mathbf{c}}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}.

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