1.5.6 A energia cinética de uma única partícula é dada por T=12 m v^2. Para o movimento de rotação, essa expressão se transforma em 12 m(omega times r)^2. Mostre que
T=12 m[r^2 omega^2-(r cdot omega)^2]
Para r cdot omega=0 essa expressão se reduz a T=12 I omega^2, com o momento de inércia I dado por m r^2.

Passo 1

O enunciado diz que, em rotação, a energia cinética de uma partícula de massa m com velocidade v = omegatimesr é
T = tfrac12,m,(omegatimesr)^2
e pede para mostrar que
T = tfrac12,ml[r^2omega^2 - (rcdotomega)^2r]
O conteúdo principal aqui é a identidade vetorial para o módulo do produto vetorial.

Passo 2

Lembramos a identidade geral: para quaisquer vetores a e b, vale
lvert atimes brvert^2 ;=; lvert arvert^2,lvert brvert^2 ;-; (acdot b)^2

Passo 3

Identificando a=omega e b=r, obtemos
(omegatimes r)^2 ;=; omega^2,r^2 ;-; (omegacdot r)^2

Passo 4

Substituindo esse resultado em
T = tfrac12,m,(omegatimesr)^2
segue-se imediatamente
T = tfrac12,ml[r^2omega^2 - (rcdotomega)^2r]

Passo 5

Se rcdotomega=0, o termo escalar some e ficamos com
T = tfrac12,m,r^2,omega^2
Definindo o momento de inércia I = m,r^2, isso se escreve
T = tfrac12,I,omega^2

Resposta

T = tfrac12,ml[r^2omega^2 - (rcdotomega)^2r],
que, para rcdotomega=0, reduz-se a
T = tfrac12,I,omega^2, I = m,r^2

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