1.5.6 A energia cinética de uma única partícula é dada por T=\frac{1}{2} m v^{2}. Para o movimento de rotação, essa expressão se transforma em \frac{1}{2} m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}. Mostre que
T=\frac{1}{2} m\left[r^{2} \omega^{2}-(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\omega})^{2}\right]
Para \mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\omega}=0 essa expressão se reduz a T=\frac{1}{2} I \omega^{2}, com o momento de inércia I dado por m r^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que, em rotação, a energia cinética de uma partícula de massa m com velocidade \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} é
T = \tfrac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})^2
e pede para mostrar que
T = \tfrac12\,m\bigl[r^2\omega^2 - (\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})^2\bigr].
O conteúdo principal aqui é a identidade vetorial para o módulo do produto vetorial.

Passo 2

Lembramos a identidade geral: para quaisquer vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}, vale
\lvert \mathbf{a}\times \mathbf{b}\rvert^2 \;=\; \lvert \mathbf{a}\rvert^2\,\lvert \mathbf{b}\rvert^2 \;-\; (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^2.

Passo 3

Identificando \mathbf{a}=\boldsymbol{\omega} e \mathbf{b}=\mathbf{r}, obtemos
(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})^2 \;=\; \omega^2\,r^2 \;-\; (\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{r})^2.

Passo 4

Substituindo esse resultado em
T = \tfrac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})^2
segue-se imediatamente
T = \tfrac12\,m\bigl[r^2\omega^2 - (\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})^2\bigr].

Passo 5

Se \mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}=0, o termo escalar some e ficamos com
T = \tfrac12\,m\,r^2\,\omega^2.
Definindo o momento de inércia I = m\,r^2, isso se escreve
T = \tfrac12\,I\,\omega^2.

Resposta

T = \tfrac12\,m\bigl[r^2\omega^2 - (\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})^2\bigr],
que, para \mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}=0, reduz-se a
T = \tfrac12\,I\,\omega^2,\quad I = m\,r^2.

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