1.5.10 Três vetores, A, B e C, são dados por
& A=3 x-2 y+2 z & B=6 x+4 y-2 z & C=-3 x-2 y-4 z
Calcule os valores de A cdot B times C e A times(B times C), C times(A times B) e B times(C times A).

Passo 1

Temos três vetores em base cartesiana:
A = 3x - 2y + 2z, B = 6x + 4y - 2z, C = -3x - 2y - 4z
Precisamos calcular o produto escalar misto Acdot(BtimesC) e os produtos vetoriais aninhados Atimes(BtimesC), Ctimes(AtimesB) e Btimes(CtimesA). Vamos usar determinantes para produto vetorial e a identidade de duplo produto vetorial
Xtimes(YtimesZ) = Y,(XcdotZ)-Z,(XcdotY)

Passo 2

Calculamos BtimesC via determinante e depois o produto escalar com A.
BtimesC = x & y & z 6 & 4 & -2 -3 & -2 & -4 =-20,x+30,y+0,z
Logo,
Acdot(BtimesC) =3cdot(-20)+(-2)cdot30+2cdot0=-120

Passo 3

Usamos a identidade de duplo produto vetorial para Atimes(BtimesC). Primeiro calculamos
AcdotC =3cdot(-3)+(-2)cdot(-2)+2cdot(-4)=-13, AcdotB =3cdot6+(-2)cdot4+2cdot(-2)=6
Então
Atimes(BtimesC) =B,(AcdotC)-C,(AcdotB) =(-13)B-6,C =(-60)x-40y+50z

Passo 4

Calculamos diretamente AtimesB via determinante:
AtimesB = x & y & z 3 & -2 & 2 6 & 4 & -2 =-4,x+18,y+24,z

Passo 5

Para Ctimes(AtimesB) usamos a identidade. Calculamos
CcdotB = -3cdot6+(-2)cdot4+(-4)cdot(-2)=-18, CcdotA = -13
Assim
Ctimes(AtimesB) =A,(CcdotB)-B,(CcdotA) =(-18)A-(-13)B =24x+88y-62z

Passo 6

Calculamos CtimesA via determinante:
CtimesA = x & y & z -3 & -2 & -4 3 & -2 & 2 =-12,x-6,y+12,z

Passo 7

Para Btimes(CtimesA) aplicamos a identidade. Calculamos
BcdotA=6, BcdotC=-18
Logo
Btimes(CtimesA) =C,(BcdotA)-A,(BcdotC) =6,C-(-18)A =36x-48y+12z

Resposta

Acdot(BtimesC)=-120,
Atimes(BtimesC) =-60x-40y+50z,
Ctimes(AtimesB) =24x+88y-62z,
Btimes(CtimesA) =36x-48y+12z

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