1.5.13 Mostre que

(A times B) times(C times D)=(A cdot B times D) C-(A cdot B times C) D

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial envolvendo produto vetorial e produto misto:
(AtimesB)times(CtimesD) =(Acdot(BtimesD)),C -(Acdot(BtimesC)),D
O conteúdo principal é a identidade do produto vetorial duplo (também chamada de fórmula de Lagrange) e a propriedade cíclica do produto misto.

Passo 2

Recordamos a identidade do produto vetorial duplo: para quaisquer vetores U,V,W vale
Utimes(VtimesW) =V,(UcdotW) -W,(UcdotV)

Passo 3

Defina U=AtimesB. Então aplicando a identidade acima com V=C e W=D, obtemos
(AtimesB)times(CtimesD) =C,((AtimesB)cdotD) -D,((AtimesB)cdotC)

Passo 4

Usamos a propriedade cíclica do produto misto, que diz
(AtimesB)cdotD =Acdot(BtimesD), (AtimesB)cdotC =Acdot(BtimesC)
Substituindo em cada termo da expressão do Passo 3, vem
(AtimesB)times(CtimesD) =C;(Acdot(BtimesD)) -D;(Acdot(BtimesC)),
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

(AtimesB)times(CtimesD) =(Acdot(BtimesD)),C -(Acdot(BtimesC)),D

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