1.5.13 Mostre que

(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times(\mathbf{C} \times \mathbf{D})=(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{D}) \mathbf{C}-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}) \mathbf{D} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial envolvendo produto vetorial e produto misto:
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D}) =(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D}))\,\mathbf{C} -(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}))\,\mathbf{D}.
O conteúdo principal é a identidade do produto vetorial duplo (também chamada de fórmula de Lagrange) e a propriedade cíclica do produto misto.

Passo 2

Recordamos a identidade do produto vetorial duplo: para quaisquer vetores \mathbf{U},\mathbf{V},\mathbf{W} vale
\mathbf{U}\times(\mathbf{V}\times\mathbf{W}) =\mathbf{V}\,(\mathbf{U}\cdot\mathbf{W}) -\mathbf{W}\,(\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}).

Passo 3

Defina \mathbf{U}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}. Então aplicando a identidade acima com \mathbf{V}=\mathbf{C} e \mathbf{W}=\mathbf{D}, obtemos
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D}) =\mathbf{C}\,((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{D}) -\mathbf{D}\,((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}).

Passo 4

Usamos a propriedade cíclica do produto misto, que diz
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{D} =\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D}), \quad (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} =\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}).
Substituindo em cada termo da expressão do Passo 3, vem
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D}) =\mathbf{C}\;(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})) -\mathbf{D}\;(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})),
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D}) =(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D}))\,\mathbf{C} -(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}))\,\mathbf{D}.

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