Se mdc(a, b)=p, onde p é primo, mostre que mdc(a^3, b)=p, p^2 ou p^3.

Passo 1

O enunciado afirma que gcd(a,b)=p, onde p é um número primo, e pede para determinar todas as possibilidades de gcd(a^3,b). O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de que, se gcd(a,b)=d, então podemos escrever a=dA, b=dB com gcd(A,B)=1, e depois explorar fatores primos.

Passo 2

Como gcd(a,b)=p, escrevemos
a = pA, b = pB,
onde A e B são inteiros tais que gcd(A,B)=1.

Passo 3

Então
a^3 = (pA)^3 = p^3 A^3,
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gcd(a^3,b) = gcdl(p^3 A^3,;pBr)

Passo 4

Usando a propriedade gcd(p^3 A^3,pB)=p;gcdl(p^2 A^3,Br), obtemos
gcd(a^3,b) = p;gcdl(p^2 A^3,Br)

Passo 5

Como gcd(A,B)=1, também gcd(A^3,B)=1. Assim
gcdl(p^2 A^3,Br) = gcd(p^2,B),
e, sendo p primo, os únicos divisores comuns de p^2 e B são 1, p ou p^2.

Passo 6

Portanto
gcd(a^3,b) = p times 1,;p,;p^2 ;=;p,;p^2,;p^3

Resposta

As únicas possibilidades para gcd(a^3,b) são p, p^2 ou p^3.

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