|z|, \bar{z}, \operatorname{Re} z, \operatorname{Im} z são analíticas? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se as funções
\lvert z\rvert, \overline{z}, \Re z e \Im z são analíticas (holomorfas) em algum aberto de \mathbb{C}. O conteúdo necessário é o critério de Cauchy–Riemann: uma função f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) é holomorfa num ponto se e somente se u e v têm derivadas parciais contínuas ali e satisfazem
u_x = v_y, \qquad u_y = -\,v_x.

Passo 2

Expressamos z=x+iy e escrevemos cada função no formato f(z)=u(x,y)+iv(x,y). A seguir calculamos as derivadas parciais de u e v e checamos as equações de Cauchy–Riemann ponto a ponto.

Passo 3

Para \overline{z} temos
\overline{z}=x - i\,y,
ou seja u(x,y)=x e v(x,y)=-y. Então
u_x = 1,\;u_y = 0, \quad v_x = 0,\;v_y = -1.
As equações de Cauchy–Riemann pedem u_x=v_y e u_y=-v_x, isto é
1 \stackrel{?}{=} -1, \quad 0 \stackrel{?}{=} 0.
A primeira igualdade falha, logo \overline{z} não é analítica em nenhum ponto.

Passo 4

Para \Re z temos
\Re z = x + i\,0,
logo u(x,y)=x, v(x,y)=0. Calculamos
u_x = 1,\;u_y = 0, \quad v_x = 0,\;v_y = 0.
As condições seriam
1 \stackrel{?}{=} 0, \quad 0 \stackrel{?}{=} 0,
mas a primeira falha. Portanto \Re z não é analítica em nenhum aberto.

Passo 5

Para \Im z escrevemos
\Im z = y + i\,0,
então u(x,y)=y, v(x,y)=0. Assim
u_x = 0,\;u_y = 1, \quad v_x = 0,\;v_y = 0.
As equações exigiriam
0 = 0, \quad 1 \stackrel{?}{=} 0,
e a segunda falha. Logo \Im z também não é analítica em nenhum aberto.

Passo 6

Para \lvert z\rvert temos
\lvert z\rvert = \sqrt{x^2 + y^2} + i\,0,
então u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}, v(x,y)=0. As parciais são
u_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad u_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad v_x = v_y = 0.
Cauchy–Riemann requer u_x=v_y e u_y=-v_x, isto é
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0, \quad \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0,
que só ocorreria se x=y=0, mas num ponto isolado não há aberto de holomorfia. Concluímos que \lvert z\rvert não é analítica em nenhum aberto.

Resposta

Nenhuma das funções \lvert z\rvert, \overline{z}, \Re z ou \Im z é analítica em qualquer aberto de \mathbb{C}.

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