são analíticas? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se as funções
,
,
e
são analíticas (holomorfas) em algum aberto de
. O conteúdo necessário é o critério de Cauchy–Riemann: uma função
é holomorfa num ponto se e somente se
e
têm derivadas parciais contínuas ali e satisfazem
Passo 2
Expressamos
e escrevemos cada função no formato
. A seguir calculamos as derivadas parciais de
e
e checamos as equações de Cauchy–Riemann ponto a ponto.
Passo 3
Para
temos
ou seja
e
. Então
As equações de Cauchy–Riemann pedem
e
, isto é
A primeira igualdade falha, logo
não é analítica em nenhum ponto.
Passo 4
Para
temos
logo
,
. Calculamos
As condições seriam
mas a primeira falha. Portanto
não é analítica em nenhum aberto.
Passo 5
Para
escrevemos
então
,
. Assim
As equações exigiriam
e a segunda falha. Logo
também não é analítica em nenhum aberto.
Passo 6
Para
temos
então
,
. As parciais são
Cauchy–Riemann requer
e
, isto é
que só ocorreria se
, mas num ponto isolado não há aberto de holomorfia. Concluímos que
não é analítica em nenhum aberto.
Resposta
Nenhuma das funções
,
,
ou
é analítica em qualquer aberto de
.