O que é uma função analítica? Como você testaria uma função para saber se ela é analítica?
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos entender o que é uma função analítica no contexto de variáveis complexas e ver quais critérios podemos usar para testar se uma dada função
é analítica. Vamos precisar da definição de derivada complexa, das equações de Cauchy–Riemann e do conceito de série de potências.
Passo 2
Definição de função analítica (ou holomorfa): uma função
é analítica em um ponto
se existir o limite
e esse limite for válido em qualquer direção em
. Se
for complexamente diferenciável em todo ponto de
, dizemos que ela é analítica (ou holomorfa) em
.
Passo 3
Critério de Cauchy–Riemann: escrevendo
com
, um teste prático é verificar se
em um domínio aberto. Além disso, deve-se garantir que as derivadas parciais
existam e sejam contínuas naquele domínio. Se tudo isso valer,
é analítica.
Passo 4
Série de potências: outra caracterização essencial é que
é analítica em
se, e somente se, puder ser escrita numa vizinhança de
como
com raio de convergência positivo. Para testar, tenta-se expandir
em torno de um ponto e verificar convergência da série.
Passo 5
Outros testes equivalentes:
– Teorema de Morera: se for contínua em
e a integral de linha sobre todo circuito fechado dentro de
for zero, então
é analítica.
– Fórmulas integrais de Cauchy: se satisfazem-se as hipóteses do teorema (contínua em e integrais de Cauchy definidas), deduz-se analiticidade.
– Teorema de Morera: se
– Fórmulas integrais de Cauchy: se satisfazem-se as hipóteses do teorema (contínua em
Resposta
Uma função
é analítica (holomorfa) em um domínio
se for complexamente diferenciável em cada ponto de
. Para testar essa propriedade, podemos:
- Verificar as equações de Cauchy–Riemann e a continuidade das derivadas parciais de
e . - Tentar representar
localmente por uma série de potências convergente. - Aplicar o Teorema de Morera ou as fórmulas integrais de Cauchy, comprovando que integrais em laços fechados são nulas.