O que é uma função analítica? Como você testaria uma função para saber se ela é analítica?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos entender o que é uma função analítica no contexto de variáveis complexas e ver quais critérios podemos usar para testar se uma dada função f\colon D\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C} é analítica. Vamos precisar da definição de derivada complexa, das equações de Cauchy–Riemann e do conceito de série de potências.

Passo 2

Definição de função analítica (ou holomorfa): uma função f é analítica em um ponto z_0\in D se existir o limite
f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}
e esse limite for válido em qualquer direção em \mathbb{C}. Se f for complexamente diferenciável em todo ponto de D, dizemos que ela é analítica (ou holomorfa) em D.

Passo 3

Critério de Cauchy–Riemann: escrevendo f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) com z=x+iy, um teste prático é verificar se
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
em um domínio aberto. Além disso, deve-se garantir que as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existam e sejam contínuas naquele domínio. Se tudo isso valer, f é analítica.

Passo 4

Série de potências: outra caracterização essencial é que f é analítica em z_0 se, e somente se, puder ser escrita numa vizinhança de z_0 como
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,(z-z_0)^n
com raio de convergência positivo. Para testar, tenta-se expandir f em torno de um ponto e verificar convergência da série.

Passo 5

Outros testes equivalentes:
– Teorema de Morera: se f for contínua em D e a integral de linha sobre todo circuito fechado dentro de D for zero, então f é analítica.
– Fórmulas integrais de Cauchy: se satisfazem-se as hipóteses do teorema (contínua em D e integrais de Cauchy definidas), deduz-se analiticidade.

Resposta

Uma função f é analítica (holomorfa) em um domínio D\subset\mathbb{C} se for complexamente diferenciável em cada ponto de D. Para testar essa propriedade, podemos:
  1. Verificar as equações de Cauchy–Riemann e a continuidade das derivadas parciais de u e v.
  2. Tentar representar f localmente por uma série de potências convergente.
  3. Aplicar o Teorema de Morera ou as fórmulas integrais de Cauchy, comprovando que integrais em laços fechados são nulas.

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