Um palíndromo é um número que, escrito da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita, o resultado é o mesmo. (Por exemplo, 373 e 52125 são palíndromos.) Prove que todo palíndromo com um número par de algarismos é divisível por 11.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo palíndromo com um número par de algarismos é divisível por 11. O conteúdo principal aqui é a regra de divisibilidade por 11 e o uso de congruências em aritmética modular. Vamos resumir o que precisamos:
  • Saber que um número é divisível por 11 se, e somente se, a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares for múltiplo de 11.
  • Representar um palíndromo genérico de 2n dígitos e aplicar a congruência 10equiv -1pmod11.

Passo 2

Regra de divisibilidade por 11:
Um inteiro N é divisível por 11 se, e somente se,
l(soma dos dígitos em posições ímparesr);-;l(soma dos dígitos em posições paresr) íçõííçõ
for múltiplo de 11.

Passo 3

Seja N um palíndromo de 2n dígitos. Denotemos por a1,a2,dots,an os dígitos da metade inicial, de modo que
N = a1a2cdots an ;ancdots a2a1
Em valor decimal,
N ;=;sumi=1^n ai,10^2n-i ;+;sumi=1^n ai,10^,i-1

Passo 4

Vamos calcular N módulo 11. Como ,10equiv -1pmod11, então
10^kequiv(-1)^kpmod11
Logo
N equiv sumi=1^n ai,(-1)^2n-i ;+;sumi=1^n ai,(-1)^i-1 pmod11

Passo 5

Note que 2n é par, então (-1)^2n-i=(-1)^i. Assim cada termo fica
ail[(-1)^i + (-1)^i-1r] = ai,(-1)^i-1l[(-1)+1r] =0
Portanto
Nequiv 0pmod11,
ou seja, N é divisível por 11.

Resposta

Todo palíndromo com um número par de algarismos é divisível por 11.

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