Um palíndromo é um número que, escrito da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita, o resultado é o mesmo. (Por exemplo, 373 e 52125 são palíndromos.) Prove que todo palíndromo com um número par de algarismos é divisível por 11.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo palíndromo com um número par de algarismos é divisível por 11. O conteúdo principal aqui é a regra de divisibilidade por 11 e o uso de congruências em aritmética modular. Vamos resumir o que precisamos:
- Saber que um número é divisível por 11 se, e somente se, a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares for múltiplo de 11.
- Representar um palíndromo genérico de
dígitos e aplicar a congruência .
Passo 2
Regra de divisibilidade por 11:
Um inteiro é divisível por 11 se, e somente se,
Um inteiro
for múltiplo de 11.
Passo 3
Seja
um palíndromo de
dígitos. Denotemos por
os dígitos da metade inicial, de modo que
Em valor decimal,
Passo 4
Vamos calcular
módulo 11. Como
, então
Logo
Passo 5
Note que
é par, então
. Assim cada termo fica
Portanto
ou seja,
é divisível por 11.
Resposta
Todo palíndromo com um número par de algarismos é divisível por 11.