Se a, b in Z, prove que: a^5=b^5 Rightarrow a=b.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a aplicação fcolon ZtoZ dada por f(x)=x^5 é injetiva, ou seja, que se
a^5=b^5
com a,binZ, então necessariamente a=b. Vamos usar a fatoração da diferença de duas quintas potências e depois argumentar que o outro fator não pode anular-se em inteiros, exceto no caso trivial a=b.

Passo 2

Usamos a fatoração conhecida
a^5 - b^5 = (a-b)l(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4r)
Se a^5=b^5, então
a^5 - b^5 = 0 Longrightarrow (a-b)l(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4r)=0

Passo 3

Da igualdade acima, ou bem
a-b=0 ou a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4=0
Se a-b=0, já concluímos a=b. Resta descartar a possibilidade do segundo fator ser zero quando aneq b.

Passo 4

Suponha aneq b. Se b=0, então a^5=b^5=0 implica a=0, logo de novo a=b, contradição à hipótese aneq b. Assim bneq0 e podemos dividir o segundo fator por b^4. Defina
r = abinQ
A condição
a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4=0
torna-se, ao dividir por b^4,
r^4 + r^3 + r^2 + r + 1 = 0
Por meio do Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional desse polinômio deve dividir o termo constante 1, isto é, só pode ser r=pm1. Mas
(1)^4 + (1)^3 + (1)^2 + 1 + 1 = 5neq0, (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1neq0
Logo não há rinQ que anule r^4+r^3+r^2+r+1. Isso elimina a hipótese de o segundo fator ser zero com aneq b.

Passo 5

Concluímos que a única forma de a^5 - b^5 = 0 ocorrer é a - b = 0, i.e.\ a = b. Assim f(x) = x^5 é injetiva em Z.

Resposta

a=b

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