Se
, prove que:
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que a aplicação
dada por
é injetiva, ou seja, que se
com
, então necessariamente
. Vamos usar a fatoração da diferença de duas quintas potências e depois argumentar que o outro fator não pode anular-se em inteiros, exceto no caso trivial
.
Passo 2
Usamos a fatoração conhecida
Se
, então
Passo 3
Da igualdade acima, ou bem
Se
, já concluímos
. Resta descartar a possibilidade do segundo fator ser zero quando
.
Passo 4
Suponha
. Se
, então
implica
, logo de novo
, contradição à hipótese
. Assim
e podemos dividir o segundo fator por
. Defina
A condição
torna-se, ao dividir por
,
Por meio do Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional desse polinômio deve dividir o termo constante
, isto é, só pode ser
. Mas
Logo não há
que anule
. Isso elimina a hipótese de o segundo fator ser zero com
.
Passo 5
Concluímos que a única forma de
ocorrer é
, i.e.\
. Assim
é injetiva em
.