Prove que:
c) 7 mid(3^2 n+2-2^n+1), forall n >= 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
7midl(3^2n+2-2^n+1r)
para todo inteiro n>=0.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular: usaremos a noção de congruência e a propriedade de elevação a potências preservar congruências.

Passo 2

Recorde que, se
aequiv bpmod m,
então para qualquer inteiro k>=0 vale
a^kequiv b^kpmod m
e, em consequência,
mmidl(a^k - b^kr)

Passo 3

Vamos calcular o resíduo de 3^2 módulo 7. Temos
3^2 = 9
Como também
9 - 2 = 7
é múltiplo de 7, concluímos
9 equiv 2 pmod 7
Ou seja,
3^2 equiv 2 pmod 7

Passo 4

Observe que
3^2n+2 = l(3^2r)^n+1
Aplicando a congruência do passo anterior, obtemos
3^2n+2 equiv 2^n+1 pmod 7

Passo 5

Da última congruência segue
3^2n+2 - 2^n+1 equiv 0 pmod 7,
o que, por definição, significa
7 mid l(3^2n+2 - 2^n+1r)
para todo n>=0.

Resposta

Ficou demonstrado que
7midl(3^2n+2-2^n+1r)
para todo inteiro n>=0.

Exercícios de Livros Relacionados