Se parar a contaminação de uma certa lagoa, estima-se que os níveis de contaminação diminuem de acordo com a lei:
y=y0 e^-0.2582 t
onde t é dada em anos e y0 é o nível de contaminação quando parou a contaminação. Em quantos anos a lagoa reduzirá a contaminação pela metade?

Passo 1

O enunciado dá a lei de decaimento exponencial do nível de contaminação da lagoa
y = y0 e^-0.2582,t
onde t está em anos e queremos saber quando y fica pela metade de y0. O conteúdo aqui é resolver para t na equação exponencial, usando logaritmo natural.

Passo 2

Para achar o tempo de meia-vida, impomos
y = y02,
logo substituímos na lei e obtemos
y02 = y0 e^-0.2582,t

Passo 3

Cancelamos y0 dos dois lados e ficamos com
12 = e^-0.2582,t
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln!l(tfrac12r) = lnl(e^-0.2582,tr) Longrightarrow ln!l(tfrac12r) = -0.2582,t

Passo 4

Como ln!l(tfrac12r) = -ln 2, resolvemos para t:
t = -ln(tfrac12)0.2582 = ln 20.2582 approx 0.69310.2582 approx 2.683

Resposta

A lagoa reduzirá a contaminação pela metade em aproximadamente 2,68 anos.

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