Uma partícula com massa m desliza ao longo de um fio fino cujo formato é descrito pela função z=f(x).
Quando f^{\prime}\left(x_{1}\right)
=0, f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)>0), e o sistema é não amortecido, o ponto crítico \mathbf{X}_{1}=\left(x_{1}, 0\right) é um centro. Estime o período da partícula quando x(0) estiver próximo de x_{1} e x^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m desliza sem atrito ao longo de um fio cuja altura acima de uma referência é dada por z = f(x). No ponto crítico \bigl(x_{1},0\bigr) temos
f'(x_{1}) = 0, \quad f''(x_{1}) > 0
e queremos estimar o período de pequenas oscilações em torno de x = x_{1}, supondo x(0) perto de x_{1} e \dot x(0)=0.
Conteúdo envolvido: energia cinética e potencial, expansão de Taylor, oscilador harmônico aproximado.

Passo 2

Escrevemos a energia cinética e potencial da partícula. Como z = f(x), tem-se
T = \tfrac12\,m\bigl(\dot x^{2}+\dot z^{2}\bigr) = \tfrac12\,m\bigl[1 + f'(x)^{2}\bigr]\:\dot x^{2},
U = m\,g\,z = m\,g\,f(x).
O movimento é conservativo, com Lagrangeano L=T-U.

Passo 3

Definimos o deslocamento pequeno \xi = x - x_{1}. Para \xi pequeno, expandimos em Taylor em torno de x_{1}:
f(x) = f(x_{1}) + f'(x_{1})\,\xi + \tfrac12\,f''(x_{1})\,\xi^{2} + \cdots = f(x_{1}) + \tfrac12\,f''(x_{1})\,\xi^{2} + \cdots
(pois f'(x_{1})=0). Além disso, como f'(x_{1})=0, na energia cinética \bigl[1+f'(x)^{2}\bigr]\approx 1. Logo, até segunda ordem em \xi:
T \approx \tfrac12\,m\,\dot\xi^{2}, \quad U \approx m\,g\Bigl(f(x_{1}) + \tfrac12\,f''(x_{1})\,\xi^{2}\Bigr).
A constante m\,g\,f(x_{1}) não afeta a dinâmica, e obtemos a equação linearizada
m\,\ddot\xi + m\,g\,f''(x_{1})\,\xi = 0.

Passo 4

Reconhecendo um oscilador harmônico de frequência
\omega = \sqrt{g\,f''(x_{1})},
o período aproximado das pequenas oscilações é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\,\frac{1}{\sqrt{g\,f''(x_{1})}}.

Resposta

O período de pequenas oscilações em torno de x_{1} é
T \approx 2\pi \,\frac{1}{\sqrt{g\,f''(x_{1})}}.

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