Uma partícula com massa
desliza ao longo de um fio fino cujo formato é descrito pela função
.
Quando
=0, f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)>0), e o sistema é não amortecido, o ponto crítico
é um centro. Estime o período da partícula quando
estiver próximo de
e
.
Quando
=0, f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)>0), e o sistema é não amortecido, o ponto crítico
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
desliza sem atrito ao longo de um fio cuja altura acima de uma referência é dada por
. No ponto crítico
temos
e queremos estimar o período de pequenas oscilações em torno de
, supondo
perto de
e
.
Conteúdo envolvido: energia cinética e potencial, expansão de Taylor, oscilador harmônico aproximado.
Conteúdo envolvido: energia cinética e potencial, expansão de Taylor, oscilador harmônico aproximado.
Passo 2
Escrevemos a energia cinética e potencial da partícula. Como
, tem-se
O movimento é conservativo, com Lagrangeano
.
Passo 3
Definimos o deslocamento pequeno
. Para
pequeno, expandimos em Taylor em torno de
:
(pois
). Além disso, como
, na energia cinética
. Logo, até segunda ordem em
:
A constante
não afeta a dinâmica, e obtemos a equação linearizada
Passo 4
Reconhecendo um oscilador harmônico de frequência
o período aproximado das pequenas oscilações é
Resposta
O período de pequenas oscilações em torno de
é