Uma pirâmide tem por base um retângulo cuja soma das dimensões vale 34 cm , sendo uma delas equivalente a 512 da outra. Determine as dimensões da base e a área total da pirâmide, sabendo que a altura mede 5 cm e a sua projeção sobre a base é o ponto de interseção das diagonais da base.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide de base retangular cujos lados, digamos x e y, satisfazem
x+y=34
e “uma delas é tfrac512 da outra”. A altura da pirâmide é h=5 cm, e o ápice projeta-se no centro da base. Precisamos achar x e y e, em seguida, a área total (área da base + área lateral).

Passo 2

Sem perda de generalidade, suponha
y=512,x
Como x+y=34, temos
x+512x=34 Longrightarrow 1712x=34 Longrightarrow x= 34cdot1217=24
Logo y=34-24=10.
As dimensões da base são 24 cm e 10 cm.

Passo 3

Cada face lateral é um triângulo isósceles cuja base é um lado da base retangular e cuja altura (slant height) ell vale
ell=raizh^2+d^2,
onde d é a distância horizontal do centro da base ao ponto médio desse lado.
  • Para o lado de comprimento 24, esse d é metade do outro lado: d=10/2=5. ell24=raiz5^2+5^2=5raiz2
  • Para o lado de comprimento 10, temos d=24/2=12. ell10=raiz5^2+12^2=13

Passo 4

A área lateral é a soma das áreas de 4 triângulos: dois com base 24 e altura 5raiz2 e dois com base 10 e altura 13.
Alat =2cdot24cdot(5raiz2)2 +2cdot10cdot132 =24cdot5raiz2+10cdot13 =120raiz2+130

Passo 5

A área da base é
Abase=24cdot10=240
Portanto a área total é
Atot=Abase+Alat =240+(120raiz2+130) =370+120raiz2(cm^2)

Resposta

As dimensões da base são 24 cm e 10 cm, e a área total da pirâmide é
370+120raiz2cm^2

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