Calcule a medida da altura de um tetraedro regular, sabendo que o perímetro da base mede 9 cm .

Passo 1

O enunciado pede a altura de um tetraedro regular cuja base é um triângulo equilátero de perímetro 9,cm. O conteúdo aqui envolve:
– identificar o lado a do triângulo pela relação perímetro = 3a,
– usar a definição de tetraedro regular (todos os arestas iguais a a) e
– aplicar o Teorema de Pitágoras num triângulo que envolve a altura do tetraedro.

Passo 2

Do perímetro da base,
3a = 9implies a = 93 = 3 cm

Passo 3

Seja D o vértice superior do tetraedro e H o centro (baricentro) do triângulo ABC da base. Então DH é a altura procurada e, como H fica à mesma distância de A,B,C, temos
AH = araiz3
No triângulo reto DHA, pelo Teorema de Pitágoras,
DH^2 + AH^2 = DA^2 Longrightarrow DH^2 + l(tfracaraiz3r)^2 = a^2 Longrightarrow DH = raiza^2 - a^23 = araiz23

Passo 4

Substituindo a=3,cm em
DH = 3raiz23
simplificamos:
3raiz23 = 3;raiz2raiz3 = 3raiz2raiz3 = raiz6 cm

Resposta

A altura do tetraedro regular é raiz6 cm.

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