Numa pirâmide triangular PABC , o triedro de vértice P é trirretângulo. O triângulo ABC da base é equilátero de lado 4 cm . Calcule o volume da pirâmide.
Passo 1
O enunciado descreve uma pirâmide tetraédrica
cuja base
é um triângulo equilátero de lado
cm e o triedro em
é trirretângulo (ou seja, os três arestes que partem de
são mutuamente perpendiculares). Vamos usar geometria analítica em 3D para encontrar as arestas
e depois calcular o volume.
Passo 2
Por definição de triedro trirretângulo em
, temos
Isso sugere escolher um sistema de coordenadas em que
com
,
,
.
Passo 3
Agora expressamos as distâncias entre vértices da base:
Como
é equilátero de lado
, temos
Passo 4
Somando as três equações:
De
segue
, ou seja
. Pelas simetria dos sistemas, obtemos também
Passo 5
Para um tetraedro com arestas mutuamente perpendiculares em
, o volume é dado por