Numa pirâmide triangular PABC , o triedro de vértice P é trirretângulo. O triângulo ABC da base é equilátero de lado 4 cm . Calcule o volume da pirâmide.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide tetraédrica PABC cuja base ABC é um triângulo equilátero de lado 4 cm e o triedro em P é trirretângulo (ou seja, os três arestes que partem de P são mutuamente perpendiculares). Vamos usar geometria analítica em 3D para encontrar as arestas PA,PB,PC e depois calcular o volume.

Passo 2

Por definição de triedro trirretângulo em P, temos
PA perp PB, PB perp PC, PC perp PA
Isso sugere escolher um sistema de coordenadas em que
P=(0,0,0), A=(a,0,0), B=(0,b,0), C=(0,0,c),
com a=PA, b=PB, c=PC.

Passo 3

Agora expressamos as distâncias entre vértices da base:
AB=raiz(a-0)^2+(0-b)^2+(0-0)^2=raiza^2+b^2,
BC=raiz(0-0)^2+(b-0)^2+(0-c)^2=raizb^2+c^2,
CA=raiz(0-a)^2+(0-0)^2+(c-0)^2=raizc^2+a^2
Como ABC é equilátero de lado 4, temos
a^2+b^2=16, b^2+c^2=16, c^2+a^2=16

Passo 4

Somando as três equações:
2l(a^2+b^2+c^2r)=48 Longrightarrow a^2+b^2+c^2=24
De a^2+b^2=16 segue c^2=24-16=8, ou seja c=raiz8=2raiz2. Pelas simetria dos sistemas, obtemos também
b^2=8,;a^2=8 Longrightarrow a=b=c=2raiz2

Passo 5

Para um tetraedro com arestas mutuamente perpendiculares em P, o volume é dado por
V=PAcdot PBcdot PC6 =a,b,c6 =(2raiz2),(2raiz2),(2raiz2)6 =(2raiz2)^36 =16raiz26 =8raiz23;cm^3

Resposta

8raiz23;cm^3

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