De um tetraedro regular de aresta a, calcule:
a) a área total (At)
b) a medida h da altura
c) o seu volume (V)

Passo 1

O enunciado nos pede a área total, a altura e o volume de um tetraedro regular de aresta a. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo equilátero, a distância do vértice ao baricentro da face e a fórmula de volume de uma pirâmide.

Passo 2

Cada face é um triângulo equilátero de lado a, cuja área é
Atriang<= = raiz34a^2
Como são quatro faces, a área total fica
At = 4 times raiz34a^2 = raiz3,a^2

Passo 3

Para encontrar a altura h, note que ela é a distância do vértice até o baricentro da base (triângulo equilátero). A distância do baricentro a qualquer vértice do triângulo é
r = araiz3
Logo,
h = raiza^2 - r^2 = raiza^2 - a^23 = araiz23

Passo 4

O volume de uma pirâmide é tfrac13 da área da base vezes a altura. Assim,
V = 13,l(raiz34a^2r),l(araiztfrac23r) = a^312,raiz2 = a^36raiz2

Resposta

(a) At = raiz3,a^2
(b) h = araiztfrac23
(c) V = tfraca^36raiz2

Exercícios de Livros Relacionados