Uma placa delgada é limitada por um arco de parábola
e por
no intervalo
. Determinar a sua massa se a densidade em cada ponto
é
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma placa delgada cuja região
no plano é
e a densidade em cada ponto
é
Para encontrar a massa total
, vamos usar a definição de massa de uma lamina de densidade variável:
Passo 2
Expressamos o integral duplo como um iterado em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em
(de
até
) e depois em
(de
até
):
Como
não depende de
, ficamos com
Passo 3
Calculamos o integral interno em
:
Expandindo
, obtemos
Logo
Passo 4
Para facilitar a integração em
, fazemos a divisão do polinômio
por
. O resultado é
Assim
Passo 5
Calculamos separadamente os dois integrais:
- Integral do polinômio:
- Integral logarítmico:
Multiplicando pelo fator
dá
Passo 6
Somando as duas partes, a massa total é