Uma placa delgada é limitada por um arco de parábola y=2 x-x^2 e por O X no intervalo 0 <=q x <= 2. Determinar a sua massa se a densidade em cada ponto (x, y) é (1-y) /(1+x).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma placa delgada cuja região D no plano é
D = l(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= 2x - x^2 r,
e a densidade em cada ponto (x,y) é
rho(x,y) = 1-y1+x
Para encontrar a massa total m, vamos usar a definição de massa de uma lamina de densidade variável:
m = integral duplaD rho(x,y),dA

Passo 2

Expressamos o integral duplo como um iterado em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em y (de 0 até 2x - x^2) e depois em x (de 0 até 2):
m = integralx=0^2!integraly=0^2x - x^2 1 - y1 + x,dy,dx
Como tfrac11+x não depende de y, ficamos com
m = integral0^2 11+x l(integral0^2x - x^2 (1 - y),dyr)dx

Passo 3

Calculamos o integral interno em y:
integral0^2x - x^2 (1 - y),dy = l[y - tfracy^22r]0^2x - x^2 = (2x - x^2) - tfrac(2x - x^2)^22
Expandindo (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4, obtemos
(2x - x^2) - tfrac4x^2 - 4x^3 + x^42 = 2x - x^2 - 2x^2 + 2x^3 - tfracx^42 = 2x -3x^2 +2x^3 - tfracx^42
Logo
m = integral0^2 2x -3x^2 +2x^3 - tfracx^421 + x ,dx

Passo 4

Para facilitar a integração em x, fazemos a divisão do polinômio
P(x) = -tfrac12 x^4 +2x^3 -3x^2 +2x
por x+1. O resultado é
P(x)x+1 = -tfrac12 x^3 + tfrac52 x^2 - tfrac112 x + tfrac152 ;-;15/2,x+1,
Assim
m = integral0^2 l(-tfrac12 x^3 + tfrac52 x^2 - tfrac112 x + tfrac152r) ,dx ;-;152integral0^21x+1,dx

Passo 5

Calculamos separadamente os dois integrais:
  1. Integral do polinômio:
integral0^2 l(-tfrac12 x^3 + tfrac52 x^2 - tfrac112 x + tfrac152r)dx = -2 + tfrac203 -11 +15 = 263
  1. Integral logarítmico:
integral0^21x+1,dx = l[ln(x+1)r]0^2 = ln 3
Multiplicando pelo fator -tfrac152
-152,ln 3

Passo 6

Somando as duas partes, a massa total é
m = 263 ;-;152,ln 3

Resposta

boxedm = 263 - 152,ln 3

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