O raio da base de um cone mede 12 cm . Sabendo que a altura forma um ângulo de 60^circ com a geratriz do cone, determine sua área lateral.

Passo 1

O problema dá o raio da base do cone r=12 cm e diz que o ângulo entre a altura h e a geratriz l é 60^circ. Queremos a área lateral, que usa a fórmula Alat=pi r,l. Para isso, vamos achar l usando trigonometria e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

No triângulo formado por h, r e l, o cosseno do ângulo entre h e l é
cos 60^circ = hl
Como cos 60^circ = tfrac12, segue
h = l2

Passo 3

Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo, temos
l^2 = r^2 + h^2
Substituindo r=12 e h = tfracl2 obtém-se
l^2 = 144 + l^24 Longrightarrow 3l^24 = 144 Longrightarrow l^2=192 Longrightarrow l = 8raiz3

Passo 4

A área lateral do cone é
Alat = pi,r,l
Logo,
Alat = pi cdot 12 cdot 8raiz3 = 96raiz3,pi

Resposta

96raiz3,pi,cm^2

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