Determine a área total de um cone cuja altura mede 12 cm e forma um ângulo de 45^circ com a geratriz.

Passo 1

O enunciado dá um cone de altura ,12 cm e o ângulo entre a altura h e a geratriz g é ,45^circ. Pediu-se a área total, que é a soma da área da base (um círculo de raio r) e da área lateral. Para resolver, precisamos:
  1. usar a relação trigonométrica entre h, g e o ângulo dado;
  2. determinar o raio r pela relação entre g, h e r;
  3. calcular a área da base e da lateral e somá-las.

Passo 2

A relação entre a altura h, a geratriz g e o ângulo theta=45^circ é
costheta=hgLongrightarrow g=hcos45^circ
Como h=12 cm e cos45^circ=tfracraiz22, segue
g = 12tfracraiz22 = 12cdot2raiz2 = 12raiz2 cm

Passo 3

O raio r satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo gerado por r, h e g:
r = raizg^2 - h^2 = raiz(12raiz2)^2 - 12^2 = raiz288 - 144 = raiz144 = 12 cm

Passo 4

A área da base é
Abase = pi r^2 = picdot 12^2 = 144pi
A área lateral é
Alat = pi r,g = picdot 12 cdot (12raiz2) = 144raiz2,pi
Logo, a área total do cone é
Atotal = Abase + Alat = 144pi + 144raiz2,pi = 144pi,(1+raiz2)

Resposta

A área total é ,144pi,(1+raiz2),cm^2.

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