Num plano há duas retas e C D concorrentes num ponto 0 . Fora de alpha há um ponto P. Qual é a interseção dos planos beta=(P, A, B) e gamma=(P, C, D) ?
Os planos beta e gamma são distintos e P pertence a ambos. A B cap C D=0 Rightarrow l0 in A B Rightarrow 0 in beta 0 in C D Rightarrow 0 in gamma
Passo 1
O enunciado diz que em um plano alpha temos duas retas AB e CD que se cruzam em O. Fora de alpha está um ponto P. Definimos o plano beta passando por P,A,B e o plano gamma passando por P,C,D. Precisamos achar betacapgamma.
Passo 2
Como A,Binalpha e O é a interseção de AB com CD, temos OinAB. Logo O pertence ao plano beta, pois beta contém toda a reta AB.
Passo 3
De modo análogo, OinCD implica Oingamma, pois gamma contém toda a reta CD.
Passo 4
Tanto P quanto O pertencem a beta e a gamma. Como beta e gamma são planos distintos, sua interseção é a reta determinada por quaisquer dois pontos comuns, aqui P e O.
Resposta
A interseção betacapgamma é a reta PO.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 21