Num plano existem 20 pontos, dos quais 3 nunca são colineares, exceto 6 que estão sobre uma mesma reta. Encontre o número de retas que esses pontos determinam.

Passo 1

O enunciado diz que temos 20 pontos num plano, sem três colineares, exceto um conjunto de 6 pontos que estão todos sobre a mesma reta. O conteúdo aqui é a contagem de retas determinadas por pontos e vamos usar combinatória e o fato de colinearidade.

Passo 2

Se não houvesse nenhuma colinearidade extra, todo par de pontos determina uma reta distinta. O número de pares de 20 pontos é dado por
binom202 = 20 times 192 = 190

Passo 3

Porém esses 6 pontos colineares formam entre si
binom62 = 6 times 52 = 15
pares que todos geram a mesma reta, em vez de 15 retas distintas geram apenas 1.

Passo 4

Precisamos então retirar as 15 retas contadas a mais e contar de volta apenas 1. Assim o total de retas distintas é
190 - 15 + 1 = 176

Resposta

176 retas.

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