Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao centro da esfera. Obtenha a superfície e o volume da esfera em função de m.

Passo 1

O enunciado diz que um plano corta uma esfera num círculo cujo raio é igual à distância m do plano ao centro da esfera. Sejam:
  • R o raio da esfera,
  • d a distância do plano ao centro da esfera (diz-se que d=m),
  • r o raio do círculo de intersecção (diz-se que r=m).
    O conteúdo necessário é a relação entre o raio do círculo de secção e o raio da esfera e a fórmula de área e volume de uma esfera.

Passo 2

Na geometria da esfera, ao cortar por um plano a distância d do centro obtém-se um círculo de raio
r = raizR^2 - d^2
Aqui r=m e d=m, logo
m = raizR^2 - m^2 Longrightarrow m^2 = R^2 - m^2 Longrightarrow R^2 = 2m^2 Longrightarrow R = raiz2,m

Passo 3

A área da superfície de uma esfera de raio R é
S = 4pi R^2
Substituindo R^2 = 2m^2 obtemos
S = 4pi,(2m^2) = 8pi m^2

Passo 4

O volume de uma esfera de raio R é
V = 4pi3,R^3
Como R^3 = (raiz2,m)^3 = 2^3/2m^3, segue
V = 4pi3,2^3/2m^3 = 8raiz2,pi3,m^3

Resposta

A área da esfera em função de m é
S(m) = 8pi m^2,
e o volume em função de m é
V(m) = 8raiz2,pi3,m^3

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