Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância
do plano ao centro da esfera. Obtenha a superfície e o volume da esfera em função de
.
Passo 1
O enunciado diz que um plano corta uma esfera num círculo cujo raio é igual à distância
do plano ao centro da esfera. Sejam:
-
o raio da esfera, -
a distância do plano ao centro da esfera (diz-se que ), -
o raio do círculo de intersecção (diz-se que ).
O conteúdo necessário é a relação entre o raio do círculo de secção e o raio da esfera e a fórmula de área e volume de uma esfera.
Passo 2
Na geometria da esfera, ao cortar por um plano a distância
do centro obtém-se um círculo de raio
Aqui
e
, logo
Passo 3
A área da superfície de uma esfera de raio
é
Substituindo
obtemos
Passo 4
O volume de uma esfera de raio
é
Como
, segue
Resposta
A área da esfera em função de
é
e o volume em função de
é