O que podemos dizer da reta que passa pelo ponto de tangência de duas circunferências tangentes entre si, sabendo que essa reta é perpendicular à reta que passa pelos centros dessas circunferências?
Passo 1
O enunciado fala de duas circunferências
e
que se tocam em um ponto
. Queremos a reta que passa por
e é perpendicular à reta que une os centros
e
. O conteúdo principal aqui é a propriedade de tangente a uma circunferência: a reta tangente em um ponto é perpendicular ao raio que vai desse ponto ao centro.
Passo 2
Lembramos que, em qualquer circunferência, se uma reta é perpendicular ao raio no ponto de contato, então essa reta é tangente à circunferência. Em fórmula, se
é o centro e
o ponto na circunferência, toda reta que passa por
e satisfaz
é reta tangente em
.
Passo 3
No nosso caso há duas circunferências com centros
e
. A reta
contém os dois raios
e
. Logo, qualquer reta que passe por
e seja perpendicular a
será perpendicular a cada um dos raios
e
.
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo 2 às duas circunferências, concluímos que essa reta é tangente simultaneamente a
e a
no ponto
. Em outras palavras, é a reta tangente comum às duas circunferências.
Resposta
Aquela reta é a reta tangente comum às duas circunferências no ponto de tangência
.