O que podemos dizer da reta que passa pelo ponto de tangência de duas circunferências tangentes entre si, sabendo que essa reta é perpendicular à reta que passa pelos centros dessas circunferências?

Passo 1

O enunciado fala de duas circunferências C1 e C2 que se tocam em um ponto T. Queremos a reta que passa por T e é perpendicular à reta que une os centros O1 e O2. O conteúdo principal aqui é a propriedade de tangente a uma circunferência: a reta tangente em um ponto é perpendicular ao raio que vai desse ponto ao centro.

Passo 2

Lembramos que, em qualquer circunferência, se uma reta é perpendicular ao raio no ponto de contato, então essa reta é tangente à circunferência. Em fórmula, se O é o centro e T o ponto na circunferência, toda reta que passa por T e satisfaz
retaperp O T
é reta tangente em T.

Passo 3

No nosso caso há duas circunferências com centros O1 e O2. A reta O1O2 contém os dois raios O1T e O2T. Logo, qualquer reta que passe por T e seja perpendicular a O1O2 será perpendicular a cada um dos raios O1T e O2T.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo 2 às duas circunferências, concluímos que essa reta é tangente simultaneamente a C1 e a C2 no ponto T. Em outras palavras, é a reta tangente comum às duas circunferências.

Resposta

Aquela reta é a reta tangente comum às duas circunferências no ponto de tangência T.

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