O que podemos dizer da reta que passa pelo ponto de tangência de duas circunferências tangentes entre si, sabendo que essa reta é perpendicular à reta que passa pelos centros dessas circunferências?

Passo 1

O enunciado fala de duas circunferências e que se tocam em um ponto . Queremos a reta que passa por e é perpendicular à reta que une os centros e . O conteúdo principal aqui é a propriedade de tangente a uma circunferência: a reta tangente em um ponto é perpendicular ao raio que vai desse ponto ao centro.

Passo 2

Lembramos que, em qualquer circunferência, se uma reta é perpendicular ao raio no ponto de contato, então essa reta é tangente à circunferência. Em fórmula, se retaperp O T é o centro e o ponto na circunferência, toda reta que passa por e satisfaz
é reta tangente em .

Passo 3

No nosso caso há duas circunferências com centros e . A reta contém os dois raios e . Logo, qualquer reta que passe por e seja perpendicular a será perpendicular a cada um dos raios e .

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo 2 às duas circunferências, concluímos que essa reta é tangente simultaneamente a e a no ponto . Em outras palavras, é a reta tangente comum às duas circunferências.

Resposta

Aquela reta é a reta tangente comum às duas circunferências no ponto de tangência .

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