Um poliedro convexo de 24 arestas é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. Seccionado por um plano convenientemente escolhido, dele se pode destacar um novo poliedro convexo, sem faces triangulares, com uma face quadrangular a mais e um vértice a menos que o poliedro primitivo. Calcule o número de faces do poliedro primitivo.
Passo 1
O problema trata de um poliedro convexo “primitivo” que tem apenas faces triangulares e quadrangulares e
arestas. Ao seccionar por um plano, extrai-se um novo poliedro convexo que
- não tem faces triangulares,
- tem uma face quadrangular a mais que o primitivo,
- tem um vértice a menos que o primitivo.
Precisamos achar o número de facesdo poliedro primitivo.
Passo 2
Sejam
número de faces triangulares do primitivo,
número de faces quadrangulares do primitivo,
.
Como cada face triangular contribui com arestas e cada quadrangular com
, e cada aresta conta em duas faces,
Como cada face triangular contribui com
Pela fórmula de Euler para o primitivo,
Passo 3
Considere o vértice
que é “seccionado” pelo plano. Seja
grau de
(número de arestas incidindo em
),
número de faces triangulares incidentes a
,
número de faces quadrangulares incidentes a
.
Então
Então
Passo 4
O fragmento “destacado” em torno de
(o cupim que se separa) é um poliedro convexo com:
- vértices
(o vértice mais os pontos de interseção com as arestas), - arestas
(parte das arestas originais em mais arestas do novo polígono de corte), - faces
(as faces incidentes a , truncadas, e a face de corte).
Euler para esse cupim dá, ok.
Nesse cupim não há faces triangulares: asfaces triangulares originais viram faces quadrangulares e as quadrangulares viram pentagonais, e a face de corte é um polígono de lados.
Por hipótese, ele tem uma face quadrangular a mais que o primitivo, ou seja, as únicas quadrangulares do cupim vêm dasantigas triângulos, e
Além disso, dito que ele tem um vértice a menos que o primitivo, temos
Mas
, logo
Passo 5
Resumindo as equações que temos para o primitivo:
.
.
.
.
.
e
, logo
, e deve valer
e
.
De
. e
. vem
Então
Como
e
e
, o único inteiro
que satisfaz tudo é
. Aí
Resposta
O poliedro primitivo tem
faces.