Um poliedro convexo de 24 arestas é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. Seccionado por um plano convenientemente escolhido, dele se pode destacar um novo poliedro convexo, sem faces triangulares, com uma face quadrangular a mais e um vértice a menos que o poliedro primitivo. Calcule o número de faces do poliedro primitivo.

Passo 1

O problema trata de um poliedro convexo “primitivo” que tem apenas faces triangulares e quadrangulares e E=24 arestas. Ao seccionar por um plano, extrai-se um novo poliedro convexo que
  • não tem faces triangulares,
  • tem uma face quadrangular a mais que o primitivo,
  • tem um vértice a menos que o primitivo.
    Precisamos achar o número de faces F do poliedro primitivo.

Passo 2

Sejam
;T = número de faces triangulares do primitivo,
;Q = número de faces quadrangulares do primitivo,
;F=T+Q.
Como cada face triangular contribui com 3 arestas e cada quadrangular com 4, e cada aresta conta em duas faces,
3T + 4Q = 2E = 48
Pela fórmula de Euler para o primitivo,
V - E + F = 2 Longrightarrow V - 24 + (T+Q) = 2 Longrightarrow V = 26 - (T+Q)

Passo 3

Considere o vértice v que é “seccionado” pelo plano. Seja
;d = grau de v (número de arestas incidindo em v),
;k = número de faces triangulares incidentes a v,
;m = número de faces quadrangulares incidentes a v.
Então
k + m = d

Passo 4

O fragmento “destacado” em torno de v (o cupim que se separa) é um poliedro convexo com:
  • vértices ;Vrm cup = d+1 (o vértice v mais os d pontos de interseção com as arestas),
  • arestas ;Erm cup=2d (parte das d arestas originais em v mais d arestas do novo polígono de corte),
  • faces ;Frm cup=d+1 (as d faces incidentes a v, truncadas, e a face de corte).
    Euler para esse cupim dá (d+1)-2d+(d+1)=2, ok.
    Nesse cupim não há faces triangulares: as k faces triangulares originais viram faces quadrangulares e as m quadrangulares viram pentagonais, e a face de corte é um polígono de d lados.
    Por hipótese, ele tem uma face quadrangular a mais que o primitivo, ou seja, as únicas quadrangulares do cupim vêm das k antigas triângulos, e
k = Q + 1
Além disso, dito que ele tem um vértice a menos que o primitivo, temos
Vrm cup = d+1 = V - 1
Mas V = 26 - (T+Q), logo
d + 1 = 26 - (T+Q) - 1 Longrightarrow T + Q = 24 - d

Passo 5

Resumindo as equações que temos para o primitivo:
1. 3T + 4Q = 48.
2. T + Q = 24 - d.
3. k+m=d e k=Q+1, logo m=d-(Q+1), e deve valer 0<= m<= Q e k<= T.
De 1. e 2. vem
3(24-d-Q) +4Q =48 ;Longrightarrow; 72 -3d -3Q +4Q =48 ;Longrightarrow; Q = 3d - 24
Então
k = Q + 1 = 3d - 23, m = d - k = 23 - 2d, T = 24 - d - Q = 24 - d - (3d-24) = 48 -4d
Como k<= T e m>=0 e m<= Q, o único inteiro d que satisfaz tudo é d=10. Aí
Q = 3cdot10 - 24 = 6, T = 48 -4cdot10 = 8, F = T + Q = 8 + 6 = 14

Resposta

O poliedro primitivo tem 14 faces.

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