Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.
Passo 1
O enunciado dá um poliedro convexo com
vértices, número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Vamos usar a fórmula de Euler para poliedros e a relação entre arestas e faces.
Passo 2
Definimos:
número de faces triangulares,
número de faces quadrangulares,
número de faces pentagonais,
total de faces,
número de arestas.
Pela fórmula de Euler:
Pela fórmula de Euler:
Substituindo
e
resulta
logo
Passo 3
Cada face triangular contribui com
arestas, cada quadrangular com
e a pentagonal com
, mas cada aresta pertence a duas faces. Assim,
Passo 4
Como o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares, temos
. Então
e a relação de arestas fica
Resolvendo:
Logo
e
.
Passo 5
O total de faces é
Resposta
O número total de faces do poliedro é
.