Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.

Passo 1

O enunciado dá um poliedro convexo com ,11 vértices, número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Vamos usar a fórmula de Euler para poliedros e a relação entre arestas e faces.

Passo 2

Definimos:
,F3 = número de faces triangulares,
,F4 = número de faces quadrangulares,
,F5=1 = número de faces pentagonais,
,F=F3+F4+F5 = total de faces,
,E = número de arestas.
Pela fórmula de Euler:
V - E + F = 2
Substituindo V=11 e F=F3+F4+1 resulta
11 - E + (F3+F4+1) = 2
logo
E = 10 + F3 + F4

Passo 3

Cada face triangular contribui com 3 arestas, cada quadrangular com 4 e a pentagonal com 5, mas cada aresta pertence a duas faces. Assim,
2E = 3F3 + 4F4 + 5

Passo 4

Como o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares, temos F3 = F4 = n. Então E = 10 + 2n e a relação de arestas fica
2(10 + 2n) = 3n + 4n + 5
Resolvendo:
20 + 4n = 7n + 5
15 = 3n
n = 5
Logo F3 = 5 e F4 = 5.

Passo 5

O total de faces é
F = F3 + F4 + F5 = 5 + 5 + 1 = 11

Resposta

O número total de faces do poliedro é 11.

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