8.1.16 O polinômio de Legendre pode ser escrito como
\begin{aligned} P_{n}(\cos \theta)= & 2 \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}\left\{\cos n \theta+\frac{1}{1} \cdot \frac{n}{2 n-1} \cos (n-2) \theta\right. & +\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \frac{n(n-1)}{(2 n-1)(2 n-3)} \cos (n-4) \theta & \left.+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} \frac{n(n-1)(n-2)}{(2 n-1)(2 n-3)(2 n-5)} \cos (n-6) \theta+\cdots\right\} \end{aligned}
Seja n=2 s+1.
P_{n}(\cos \theta)=P_{2 s+1}(\cos \theta)=\sum_{m=0}^{s} a_{m} \cos (2 m+1) \theta
Ache a_{m} em termos de fatoriais e de fatoriais duplos.

Passo 1

O enunciado dá a expansão em cossenos de
P_{n}(\cos \theta)=2\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\Bigl\{\cos n\theta +\frac{1}{1}\frac{n}{2n-1}\cos(n-2)\theta+\frac{1\cdot3}{1\cdot2}\frac{n(n-1)}{(2n-1)(2n-3)}\cos(n-4)\theta+\cdots\Bigr\}.
Para n=2s+1 isso vira
P_{2s+1}(\cos\theta)=\sum_{m=0}^{s}a_{m}\cos\bigl((2m+1)\theta\bigr).
Precisamos expressar cada coeficiente a_{m} em termos de fatoriais e duplos fatoriais.

Passo 2

Vamos indexar os termos do somatório original por k, de modo que o k-ésimo termo é
T_k =2\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \;\underbrace{\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k}}_{=\frac{(2k-1)!!}{k!}} \;\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{(2n-1)(2n-3)\cdots(2n-2k+1)}}_{=\frac{n!/(n-k)!}{(2n-1)!!/(2n-2k-1)!!}} \;\cos\bigl((n-2k)\theta\bigr).
Denotamos esse coeficiente multiplicativo por C_k. Logo
C_k =\frac{(2k-1)!!}{k!}\, \frac{n!/(n-k)!}{(2n-1)!!/(2n-2k-1)!!} =\frac{(2k-1)!!\,n! \,(2n-2k-1)!!}{k!\,(n-k)!\,(2n-1)!!}.

Passo 3

Como n=2s+1, o termo \cos((n-2k)\theta) coincide com \cos((2(s-k)+1)\theta). Para escrever na forma \cos((2m+1)\theta) tomamos
m=s-k \quad\Longrightarrow\quad k=s-m.
Então
a_{m} =2\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\;C_{s-m} =2\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \;\frac{\bigl(2(s-m)-1\bigr)!!\,n!\,(2n-2(s-m)-1)!!} {(s-m)!\,(n-(s-m))!\,(2n-1)!!}.
Aqui 2n-2(s-m)-1=2s+2m+1 e n-(s-m)=(s+1+m).

Passo 4

Substituindo n=2s+1 e cancelando (2n-1)!!, obtemos
a_{m} =2\,\frac{1}{(2n)!!} \;\frac{\bigl(2s-2m-1\bigr)!!\,(2s+1)!}{(s-m)!\,(s+1+m)!} \;(2s+2m+1)!!.
Como (2n)!!=(4s+2)!!=2^{2s+1}(2s+1)!, isso reduz a
a_{m} =\frac{2\,(2s+1)!}{2^{2s+1}(2s+1)!} \;\frac{(2s-2m-1)!!\,(2s+2m+1)!!}{(s-m)!\,(s+1+m)!} =\frac{1}{2^{2s}}\; \frac{(2s-2m-1)!!\,(2s+2m+1)!!}{(s-m)!\,(s+1+m)!}.

Resposta

\boxed{ a_{m} =\frac{1}{2^{2s}}\, \frac{(2s-2m-1)!!\,\bigl(2s+2m+1\bigr)!!} {(s-m)!\,(s+m+1)!} \quad(m=0,1,\dots,s). }

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