8.1.16 O polinômio de Legendre pode ser escrito como
Seja
.
Ache
em termos de fatoriais e de fatoriais duplos.
Passo 1
O enunciado dá a expansão em cossenos de
Para
isso vira
Precisamos expressar cada coeficiente
em termos de fatoriais e duplos fatoriais.
Passo 2
Vamos indexar os termos do somatório original por
, de modo que o
-ésimo termo é
Denotamos esse coeficiente multiplicativo por
. Logo
Passo 3
Como
, o termo
coincide com
. Para escrever na forma
tomamos
Então
Aqui
e
.
Passo 4
Substituindo
e cancelando
, obtemos
Como
, isso reduz a