8.1.16 O polinômio de Legendre pode ser escrito como
Seja .
Ache em termos de fatoriais e de fatoriais duplos.
Passo 1
O enunciado dá a expansão em cossenos de
Para isso vira
Precisamos expressar cada coeficiente em termos de fatoriais e duplos fatoriais.
Passo 2
Vamos indexar os termos do somatório original por , de modo que o -ésimo termo é
Denotamos esse coeficiente multiplicativo por . Logo
Passo 3
Como m=s-k Longrightarrow k=s-m , o termo am =2,(2n-1)!!(2n)!!;Cs-m =2,(2n-1)!!(2n)!! ;l(2(s-m)-1r)!!,n!,(2n-2(s-m)-1)!! (s-m)!,(n-(s-m))!,(2n-1)!! coincide com . Para escrever na forma tomamos
Então
Aqui e .
Passo 4
Substituindo am =2,1(2n)!! ;l(2s-2m-1r)!!,(2s+1)!(s-m)!,(s+1+m)! ;(2s+2m+1)!! e cancelando am =2,(2s+1)!2^2s+1(2s+1)! ;(2s-2m-1)!!,(2s+2m+1)!!(s-m)!,(s+1+m)! =12^2s; (2s-2m-1)!!,(2s+2m+1)!!(s-m)!,(s+1+m)! , obtemos
Como , isso reduz a
Resposta
boxed am =12^2s, (2s-2m-1)!!,l(2s+2m+1r)!! (s-m)!,(s+m+1)! (m=0,1,dots,s)
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 8.1 - Ex. 8.1.16