8.1.16 O polinômio de Legendre pode ser escrito como
Pn(cos theta)= & 2 (2 n-1) ! !(2 n) ! !cos n theta+11 cdot n2 n-1 cos (n-2) theta & +1 cdot 31 cdot 2 n(n-1)(2 n-1)(2 n-3) cos (n-4) theta & +1 cdot 3 cdot 51 cdot 2 cdot 3 n(n-1)(n-2)(2 n-1)(2 n-3)(2 n-5) cos (n-6) theta+cdots
Seja n=2 s+1.
Pn(cos theta)=P2 s+1(cos theta)=summ=0^s am cos (2 m+1) theta
Ache am em termos de fatoriais e de fatoriais duplos.

Passo 1

O enunciado dá a expansão em cossenos de
Pn(cos theta)=2,(2n-1)!!(2n)!!lcos ntheta +11n2n-1cos(n-2)theta+1cdot31cdot2n(n-1)(2n-1)(2n-3)cos(n-4)theta+cdotsr
Para P2s+1(costheta)=summ=0^samcosl((2m+1)thetar) isso vira
Precisamos expressar cada coeficiente em termos de fatoriais e duplos fatoriais.

Passo 2

Vamos indexar os termos do somatório original por Tk =2,(2n-1)!!(2n)!! ;underbrace1cdot3cdot5cdots(2k-1)1cdot2cdot3cdots k=(2k-1)!!k! ;underbracen(n-1)cdots(n-k+1)(2n-1)(2n-3)cdots(2n-2k+1)=n!/(n-k)!(2n-1)!!/(2n-2k-1)!! ;cosl((n-2k)thetar) , de modo que o Ck =(2k-1)!!k!, n!/(n-k)!(2n-1)!!/(2n-2k-1)!! =(2k-1)!!,n! ,(2n-2k-1)!!k!,(n-k)!,(2n-1)!! -ésimo termo é
Denotamos esse coeficiente multiplicativo por . Logo

Passo 3

Como m=s-k Longrightarrow k=s-m , o termo am =2,(2n-1)!!(2n)!!;Cs-m =2,(2n-1)!!(2n)!! ;l(2(s-m)-1r)!!,n!,(2n-2(s-m)-1)!! (s-m)!,(n-(s-m))!,(2n-1)!! coincide com . Para escrever na forma tomamos
Então
Aqui e .

Passo 4

Substituindo am =2,1(2n)!! ;l(2s-2m-1r)!!,(2s+1)!(s-m)!,(s+1+m)! ;(2s+2m+1)!! e cancelando am =2,(2s+1)!2^2s+1(2s+1)! ;(2s-2m-1)!!,(2s+2m+1)!!(s-m)!,(s+1+m)! =12^2s; (2s-2m-1)!!,(2s+2m+1)!!(s-m)!,(s+1+m)! , obtemos
Como , isso reduz a

Resposta

boxed am =12^2s, (2s-2m-1)!!,l(2s+2m+1r)!! (s-m)!,(s+m+1)! (m=0,1,dots,s)

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