8.1.17 (a) Mostre que
\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=(-1)^{n} \pi
em que n é um inteiro.
(b) Expresse \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) e \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) separadamente em termos de \pi^{1 / 2} e de uma função a.
\text { Resposta: } \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2 n-1) ! !}{2^{n}} \pi^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede, em (a), para mostrar a identidade envolvendo produtos de \Gamma em argumentos simétricos em torno de \tfrac12, e em (b) expressar cada fator \Gamma(\tfrac12\pm n) em termos de \pi^{1/2} e uma função a. Para isso vamos usar o Teorema de Reflexão de Euler
\Gamma(z)\,\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}
e a relação de recorrência
\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z),
além do valor \Gamma(\tfrac12)=\pi^{1/2}.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Reflexão com
z=\frac12+n,
de modo que 1-z=\tfrac12-n. Assim
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12+n\Bigr)\,\Gamma\!\Bigl(\tfrac12-n\Bigr) =\frac{\pi}{\sin\!\bigl(\pi(\tfrac12+n)\bigr)}.

Passo 3

Calculamos o seno:
\sin\!\bigl(\pi(\tfrac12+n)\bigr) =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi n\bigr) =(-1)^n.
Logo
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12+n\Bigr)\,\Gamma\!\Bigl(\tfrac12-n\Bigr) =\frac{\pi}{(-1)^n} =(-1)^n\pi,
que prova a parte (a).

Passo 4

Para (b), usamos recorrência para obter \Gamma(\tfrac12+n). Escrevemos
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12+n\Bigr) =\Bigl(\tfrac12+n-1\Bigr)\Bigl(\tfrac12+n-2\Bigr)\cdots\Bigl(\tfrac12\Bigr)\, \Gamma\!\Bigl(\tfrac12\Bigr).
O produto telescópico é
\Bigl(\tfrac12\Bigr)\Bigl(\tfrac32\Bigr)\Bigl(\tfrac52\Bigr)\cdots\Bigl(\tfrac{2n-1}{2}\Bigr) =\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2^n} =\frac{(2n-1)!!}{2^n}.
Como \Gamma(\tfrac12)=\pi^{1/2}, segue
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12+n\Bigr) =\frac{(2n-1)!!}{2^n}\,\pi^{1/2}.

Passo 5

Para obter \Gamma(\tfrac12-n) isolamos-a na identidade da parte (a):
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12-n\Bigr) =\frac{(-1)^n\pi}{\Gamma(\tfrac12+n)} =\frac{(-1)^n\pi}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\,\pi^{1/2}} =(-1)^n\frac{2^n}{(2n-1)!!}\,\pi^{1/2}.

Resposta

\displaystyle \Gamma\!\Bigl(\tfrac12+n\Bigr)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\,\pi^{1/2}
\displaystyle \Gamma\!\Bigl(\tfrac12-n\Bigr)=(-1)^n\frac{2^n}{(2n-1)!!}\,\pi^{1/2}

Exercícios de Livros Relacionados