8.1.17 (a) Mostre que
Gamma(12-n) Gamma(12+n)=(-1)^n pi
em que n é um inteiro.
(b) Expresse pi^1 / 2 e a separadamente em termos de Resposta: Gamma(12+n)=(2 n-1) ! !2^n pi^1 / 2 e de uma função .

Passo 1

O enunciado pede, em (a), para mostrar a identidade envolvendo produtos de Gamma(z),Gamma(1-z)=pisin(pi z) em argumentos simétricos em torno de Gamma(z+1)=z,Gamma(z), , e em (b) expressar cada fator em termos de e uma função . Para isso vamos usar o Teorema de Reflexão de Euler
e a relação de recorrência
além do valor .

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Reflexão com
z=12+n,
de modo que Gamma!l(tfrac12+nr),Gamma!l(tfrac12-nr) =pisin!l(pi(tfrac12+n)r) . Assim

Passo 3

Calculamos o seno:
sin!l(pi(tfrac12+n)r) =sin!l(tfracpi2+pi nr) =(-1)^n
Logo
Gamma!l(tfrac12+nr),Gamma!l(tfrac12-nr) =pi(-1)^n =(-1)^npi,
que prova a parte (a).

Passo 4

Para (b), usamos recorrência para obter Gamma!l(tfrac12+nr) =l(tfrac12+n-1r)l(tfrac12+n-2r)cdotsl(tfrac12r), Gamma!l(tfrac12r) . Escrevemos
l(tfrac12r)l(tfrac32r)l(tfrac52r)cdotsl(tfrac2n-12r) =1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n =(2n-1)!!2^n
O produto telescópico é
Gamma!l(tfrac12+nr) =(2n-1)!!2^n,pi^1/2
Como , segue

Passo 5

Para obter Gamma!l(tfrac12-nr) =(-1)^npiGamma(tfrac12+n) =(-1)^npi(2n-1)!!2^n,pi^1/2 =(-1)^n2^n(2n-1)!!,pi^1/2 isolamos-a na identidade da parte (a):

Resposta


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