8.1.17 (a) Mostre que
em que
é um inteiro.
(b) Expresse
e
separadamente em termos de
e de uma função
.
(b) Expresse
Passo 1
O enunciado pede, em (a), para mostrar a identidade envolvendo produtos de
em argumentos simétricos em torno de
, e em (b) expressar cada fator
em termos de
e uma função
. Para isso vamos usar o Teorema de Reflexão de Euler
e a relação de recorrência
além do valor
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Reflexão com
de modo que
. Assim
Passo 3
Calculamos o seno:
Logo
que prova a parte (a).
Passo 4
Para (b), usamos recorrência para obter
. Escrevemos
O produto telescópico é
Como
, segue
Passo 5
Para obter
isolamos-a na identidade da parte (a):