8.1.8 Mostre que
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular o limite
Aqui aparece fatorial de argumentos que, para
próximo de zero, não são inteiros. Para lidar com isso, vamos usar a extensão do fatorial pela função Gama e a propriedade do seu comportamento quando o argumento tende a zero.
Passo 2
Recordando a relação entre fatorial e função Gama, para qualquer
não negativo temos
Assim,
Então a razão vira
Passo 3
Uma propriedade fundamental da função Gama é
ou seja, para
muito pequeno
. Vamos aplicar isso a
e
, sabendo que ambos tendem a zero quando
. Logo
Passo 4
Substituindo as aproximações no quociente, obtemos
Portanto o limite vale
.