8.1.8 Mostre que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a x-1)!}{(x-1)!}=\frac{1}{a}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{(a x - 1)!}{(x - 1)!}.
Aqui aparece fatorial de argumentos que, para x próximo de zero, não são inteiros. Para lidar com isso, vamos usar a extensão do fatorial pela função Gama e a propriedade do seu comportamento quando o argumento tende a zero.

Passo 2

Recordando a relação entre fatorial e função Gama, para qualquer t não negativo temos
t! = \Gamma(t+1).
Assim,
(a x -1)! = \Gamma\bigl(a x\bigr) \quad\text{e}\quad (x -1)! = \Gamma\bigl(x\bigr).
Então a razão vira
\frac{(a x -1)!}{(x -1)!} = \frac{\Gamma(a x)}{\Gamma(x)}.

Passo 3

Uma propriedade fundamental da função Gama é
\lim_{t\to0} t\,\Gamma(t) = 1,
ou seja, para t muito pequeno \Gamma(t)\approx\frac1t. Vamos aplicar isso a t_1 = a x e t_2 = x, sabendo que ambos tendem a zero quando x\to0. Logo
\Gamma(a x)\sim \frac{1}{a x}, \quad \Gamma(x)\sim \frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo as aproximações no quociente, obtemos
\frac{\Gamma(a x)}{\Gamma(x)} \;\sim\; \frac{\tfrac{1}{a x}}{\tfrac{1}{x}} = \frac{1}{a}.
Portanto o limite vale \tfrac1a.

Resposta

\boxed{\frac{1}{a}}

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