Um ponte se desloga no plang x y segundo a lei
x=sen t, y=cos ^2 t
Pede-se:
(a) a equação da curva descrita pelo ponto,
(b) as componentes segundo x e y do vetor-velocidade no instante t=0,
(c) a velocidade no instante t=0,
(d) a distância percorrida entre os instantes t=0 e t=pi / 2.

Passo 1

O enunciado dá uma trajetória paramétrica
x=sen t, y=cos^2 t
e pede:
(a) a equação cartesiana da curva,
(b) as componentes vx e vy do vetor-velocidade em t=0,
(c) a rapidez em t=0,
(d) a distância percorrida de t=0 a t=pi/2.
Vamos usar: identidade trigonométrica para eliminar t, derivadas para obter a velocidade, norma do vetor para a rapidez, e integral de comprimento de arco para a distância.

Passo 2

Para achar a equação da curva, usamos a identidade
sen^2 t + cos^2 t = 1
Como sen t = x e cos^2 t = y, temos
x^2 + y = 1
ou seja
y = 1 - x^2

Passo 3

O vetor-velocidade é . Derivando:
Em temos e , logo

Passo 4

A rapidez é a norma de v(t):
|v(t)| = raizl(cos tr)^2 + l(-2cos t,sen tr)^2 = raizcos^2 t l(1 + 4sen^2 tr)
Em t=0 isso vale
|v(0)| = raiz1cdot(1+0) = 1

Passo 5

A distância de t=0 a t=pi/2 é
s = integral0^pi/2 |v(t)| ,dt = integral0^pi/2 cos t,raiz1+4sen^2 t;dt
Fazendo u=sen t, du=cos t,dt, muda os limites de u(0)=0 a u(pi/2)=1:
s = integral0^1 raiz1+4u^2;du
A primitiva é
integral raiz1+4u^2,du = u2raiz1+4u^2 + 14lnl(2u + raiz1+4u^2r)
Avaliado de 0 a 1, fica
s = raiz52 + 14lnl(2 + raiz5r)

Resposta

(a) y = 1 - x^2
(b) l(vx(0),vy(0)r) = (1,0)
(c) rapidez |v(0)| = 1
(d) distância s = dfracraiz52 + dfrac14lnl(2 + raiz5r)

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