Um ponte se desloga no plang
segundo a lei
Pede-se:
(a) a equação da curva descrita pelo ponto,
(b) as componentes segundo
e
do vetor-velocidade no instante
,
(c) a velocidade no instante
,
(d) a distância percorrida entre os instantes
e
.
(a) a equação da curva descrita pelo ponto,
(b) as componentes segundo
(c) a velocidade no instante
(d) a distância percorrida entre os instantes
Passo 1
O enunciado dá uma trajetória paramétrica
e pede:
(a) a equação cartesiana da curva,
(b) as componentes e
do vetor-velocidade em
,
(c) a rapidez em ,
(d) a distância percorrida de a
.
Vamos usar: identidade trigonométrica para eliminar , derivadas para obter a velocidade, norma do vetor para a rapidez, e integral de comprimento de arco para a distância.
(a) a equação cartesiana da curva,
(b) as componentes
(c) a rapidez em
(d) a distância percorrida de
Vamos usar: identidade trigonométrica para eliminar
Passo 2
Para achar a equação da curva, usamos a identidade
Como
e
, temos
ou seja
Passo 3
O vetor-velocidade é
. Derivando:
Em
temos
e , logo
Passo 4
A rapidez é a norma de
:
Em
isso vale
Passo 5
A distância de
a
é
Fazendo
,
, muda os limites de
a
:
A primitiva é
Avaliado de
a
, fica
Resposta
(a)
(b)
(c) rapidez
(d) distância
(b)
(c) rapidez
(d) distância