Esboçar as seguintes superficies:
,
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície dada por
O conteúdo é identificação e desenho de superfícies quádricas. Vamos precisar reconhecer o tipo de superfície e analisar cortes horizontais e verticais para guiar o esboço.
Passo 2
Reescrevendo a equação, isolamos
:
Esse é o modelo padrão de um paraboloide elíptico (neste caso circular), que abre para cima e tem vértice na origem
.
Passo 3
Analisamos as seções horizontais (
):
Para ,
Para
é um círculo de raio
no plano
. Para
não há pontos.
Passo 4
Analisamos as seções verticais:
– No plano , temos
– No plano
uma parábola no plano
.
– No plano , temos
– No plano
uma parábola no plano
.
Em ambos os casos, as parábolas abrem para cima.
Em ambos os casos, as parábolas abrem para cima.
Passo 5
Com esses cortes concluímos que a superfície é um “bowl” simétrico em torno do eixo
, cujo vértice fica em
e cujas “alturas” crescem quadraticamente à medida que
aumenta.
Resposta
A superfície é um paraboloide circular com vértice em
, aberto para cima, definido por
.