Esboçar as seguintes superficies:
x^2+y^2-z=0,

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície dada por
x^2+y^2-z=0
O conteúdo é identificação e desenho de superfícies quádricas. Vamos precisar reconhecer o tipo de superfície e analisar cortes horizontais e verticais para guiar o esboço.

Passo 2

Reescrevendo a equação, isolamos z:
z = x^2 + y^2
Esse é o modelo padrão de um paraboloide elíptico (neste caso circular), que abre para cima e tem vértice na origem (0,0,0).

Passo 3

Analisamos as seções horizontais ( z=constante):
Para z=c>=0,
x^2+y^2=c
é um círculo de raio raizc no plano z=c. Para c<0 não há pontos.

Passo 4

Analisamos as seções verticais:
– No plano y=0, temos
z = x^2,
uma parábola no plano x!z.
– No plano x=0, temos
z = y^2,
uma parábola no plano y!z.
Em ambos os casos, as parábolas abrem para cima.

Passo 5

Com esses cortes concluímos que a superfície é um “bowl” simétrico em torno do eixo z, cujo vértice fica em (0,0,0) e cujas “alturas” crescem quadraticamente à medida que raizx^2+y^2 aumenta.

Resposta

A superfície é um paraboloide circular com vértice em (0,0,0), aberto para cima, definido por z=x^2+y^2.

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