Um ponto luminoso está situado a 2 m de distância de uma esfera de raio igual a 4 m . Qual o valor da área da porção iluminada da esfera?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio R=4,m e um ponto luminoso a 2,m de distância da superfície da esfera. Queremos a área da região iluminada na superfície externa. O conteúdo principal é geometria de calota esférica e uso de triângulo retângulo para determinar o ângulo que delimita a região clara.

Passo 2

Chame O o centro da esfera e S o ponto luminoso. A distância de S até a superfície é 2,m, logo a distância de S até O vale
D = R + 2 = 4 + 2 = 6 m

Passo 3

O círculo que separa claro e sombra é formado pelos pontos P em que o raio OP é perpendicular ao raio de luz SP. No triângulo retângulo OPS com ângulo reto em P, pelo cosseno do ângulo varphi0 = ang<= OPS (ângulo entre OS e o raio da esfera) temos
cosvarphi0 = RD

Passo 4

A área da calota esférica iluminada (ângulo polar até varphi0) é
A = 2pi R^2l(1 - cosvarphi0r)

Passo 5

Substituindo R=4,m e cosvarphi0 = tfrac46 = tfrac23:
A = 2pi,(4)^2l(1 - tfrac23r) = 2picdot16cdottfrac13 = 32pi3 m^2

Resposta

32pi3 m^2approx 33,51 m^2

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