Um ponto luminoso está situado a 2 m de distância de uma esfera de raio igual a 4 m . Qual o valor da área da porção iluminada da esfera?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera de raio
,m e um ponto luminoso a
,m de distância da superfície da esfera. Queremos a área da região iluminada na superfície externa. O conteúdo principal é geometria de calota esférica e uso de triângulo retângulo para determinar o ângulo que delimita a região clara.
Passo 2
Chame
o centro da esfera e
o ponto luminoso. A distância de
até a superfície é
,m, logo a distância de
até
vale
Passo 3
O círculo que separa claro e sombra é formado pelos pontos
em que o raio
é perpendicular ao raio de luz
. No triângulo retângulo
com ângulo reto em
, pelo cosseno do ângulo
(ângulo entre
e o raio da esfera) temos
Passo 4
A área da calota esférica iluminada (ângulo polar até
) é
Passo 5
Substituindo
,m e
: