Qual é o ponto simétrico da origem com relação ao centro da circunferência x^2+y^2+2 x+4 y=r^2 ?

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico da origem (0,0) em relação ao centro da circunferência
x^2+y^2+2x+4y=r^2
O conteúdo necessário é geometria analítica: primeiro encontramos o centro da circunferência completando quadrados e depois aplicamos a fórmula de reflexão de um ponto em relação a um outro, usando que o centro é ponto médio do segmento que une o ponto original ao seu simétrico.

Passo 2

Para achar o centro da circunferência, completamos quadrados em x e em y:
x^2+2x + y^2+4y = r^2 Longrightarrow (x+1)^2-1 + (y+2)^2-4 = r^2
Longrightarrow (x+1)^2 + (y+2)^2 = r^2 + 5
Logo, o centro é
C = (-1,,-2)

Passo 3

Chamando de P'=(x',y') o simétrico de O=(0,0) em relação a C, sabemos que C é ponto médio de O e P'. Assim,
xC = 0 + x'2, yC = 0 + y'2
Substituindo xC=-1 e yC=-2:
-1 = x'2 Longrightarrow x' = -2, -2 = y'2 Longrightarrow y' = -4

Resposta

O ponto simétrico da origem em relação ao centro da circunferência é (-2,-4).

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