Dadas a circunferência (x-3)^2+y^2=25 e a reta x=k, para que valores de k a reta intercepta a circunferência em pontos distintos?

Passo 1

O enunciado dá a circunferência de centro (3,0) e raio 5, cujo lugar geométrico é
(x-3)^2+y^2=25,
e pede para quais valores de k a reta vertical
x=k
intercepta essa circunferência em dois pontos distintos. Vamos usar interseção de reta e circunferência em geometria analítica.

Passo 2

Substituindo x=k na equação da circunferência, obtemos
(k-3)^2+y^2=25
ou seja
y^2=25-(k-3)^2

Passo 3

Para que haja dois pontos de interseção distintos, devemos ter dois valores reais e diferentes de y. Isso acontece se e somente se
y^2>0,
isto é
25-(k-3)^2>0
ou equivalentemente
(k-3)^2<25

Passo 4

Resolver a desigualdade (k-3)^2<25
-5<k-3<5
e, somando 3 a todas as partes,
-2<k<8

Resposta

A reta x=k intercepta a circunferência em dois pontos distintos exatamente quando
kin(-2,8)

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