Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
4 x^2+m y^2-4 x+3 k=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^2 + m,y^2 - 4x + 3k = 0
e pede para que ela represente uma circunferência. O conteúdo aqui é classificação de cônicas: na forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,
temos uma circunferência se e somente se B=0, A=Cneq 0 e o raio for real (positivo).

Passo 2

Comparando com a forma geral, vemos que B=0 já está satisfeito e
A = 4, C = m
Para ser circunferência é necessário A = C, logo
m = 4

Passo 3

Substituindo m=4, a equação fica
4x^2 + 4y^2 - 4x + 3k = 0
Dividindo tudo por 4, obtemos
x^2 + y^2 - x + 3k4 = 0
Para achar centro e raio, completamos o quadrado em x:
x^2 - x = (x - 12)^2 - 14
Logo
(x - 12)^2 + y^2 - 14 + 3k4 = 0 Longrightarrow (x - 12)^2 + y^2 = 14 - 3k4 = 1-3k4

Passo 4

Para que isso seja de fato uma circunferência de raio real, precisamos de
1-3k4 > 0 Longrightarrow 1 - 3k > 0 Longrightarrow k < 13

Resposta

m = 4 e k < tfrac13.

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